Нормальные и касательные напряжения.

Напряжение есть вектор и как всякий вектор может быть представлен нормальной (по отношению к площадке) и касательной составляющими (рис. 2.3). Нормальную составляющую вектора напряжений будем обозначать касательную . Экспериментальными исследованиями установлено, что влияние нормальных и касательных напряжений на прочность материала различно, и потому в дальнейшем окажется необходимым всегда раздельно рассматривать составляющие вектора напряжений.

Рис. 2.3. Нормальное и касательное напряжения в площадке

Рис. 2.4. Касательное напряжение при срезе болта

При растяжении болта (см. рис. 2.2) в поперечном сечении действует нормальное напряжение

При работе болта на срез (рис. 2.4) в сеченйи П должно возникать усилие, уравновешивающее усилие .

Из условий равновесия следует, что

Если приближенно считать, что касательные напряжения во всех точках сечения одинаковы, то они будут равны

В действительности последнее соотношение определяет некоторое среднее напряжение по сечению, которым иногда пользуются для приближенных оценок прочности. На рис. 2.4 показан вид болта после воздействия значительных усилий. Началось разрушение болта, и одна его половина сместилась относительно другой: произошла деформация сдвига или среза.

Примеры определения напряжений в элементах конструкций.

Разберем простейшие примеры, в которых предположение о равномерном распределении напряжений, можно считать практически приемлемым. В таких случаях величины напряжений определяются с помощью метода сечений из уравнений статики (уравнений равновесия).

Кручение тонкостенного круглого вала.

Тонкостенный круглый вал (труба) передает крутящий момент (например, от авиационного двигателя на воздушный винт). Требуется определить напряжения в поперечном сечении вала (рис. 2.5, а). Проведем плоскость сечения П перпендикулярно оси вала и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Кручение тонкостенного круглого вала

Из условия осевой симметрии, учитывая малую толщину стенки можно принять, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы.

Строго говоря, такое предположение справедливо только при очень малой толщине стенки, но в практических расчетах его используют, если толщина стенки

где — средний радиус сечения.

Внешние силы, приложенные к отсеченной части вала, сводятся только к крутящему моменту, и потому нормальные напряжения в поперечном сечении должны отсутствовать. Крутящий момент уравновешивается касательными напряжениями, момент которых равен

Из последнего соотношения находим касательное напряжение в сечении вала:

Напряжения в тонкостенном цилиндрическом сосуде (трубе).

В тонкостенном цилиндрическом сосуде действует давление (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6. Напряжения в продольном направлении в стенке цилиндрической трубы

Проведем сечение плоскостью П, перпендикулярной оси цилиндрической оболочки, и рассмотрим равновесие отсеченной части. Давление, действующее на крышку сосуда, создает усилив

Это усилие уравновешивается силами, возникающими в поперечном сечении оболочки, и интенсивность - указанных сил — напряжение - будет равна

Толщина оболочки 5 предполагается малой по сравнению со средним радиусом , напряжения считаются равномерно распределенными во всех точках поперечного сечения (рис. 2.6, б).

Однако на материал трубы действуют не только напряжения в продольном направлении, но и окружные (или кольцевые) напряжения в перпендикулярном направлении. Для их выявления выделим двумя сечениями кольцо длиной I (рис. 2.7), а затем проведем диаметральное сечение, отделяющее половину кольца.

Рис. 2.7. Напряжения в стенке цилиндрической трубы в окружном направлении

На рис. 2.7, а показаны напряжения на поверхностях сечения. На внутреннюю поверхность трубы радиусом действует давление

Рис. 2.8. Трещина в цилиндрической оболочке при действии разрушающего внутреннего давления

Рассмотрим теперь равновесие половины кольца (рис. 2.7, б). Найдем сначала равнодействующую силу давления, спроектировав силы на вертикальную ось. К элементу поверхности приложено усилие, вертикальная составляв ющая которого

Интегрируя по всей поверхности, найдем величину вертикального усилия:

Из условия равновесия половины кольца получаем

что дает следующее равенство:

В приближенных расчетах полагают и тогда

Сопоставляя равенства (10) и (8), заключаем, что в тонкостенной цилиндрической оболочке окружные напряжения в два раза больше продольных.

На рис. 2.8 показан общий вид разрушения оболочки (трубы) от значительного внутреннего давления. Трещина возникает под действием растягивающих напряжений