Нормальные фундаментальные функции дифференциального уравнения изгиба и начальные параметры.

Если имеется линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

то его общее решение может быть представлено в виде

где - линейно независимые частные решения, однородного уравнения

— какое-либо частное решение; — произвольные постоянные, определяемые из краевых условий.

Функции образуют систему фундаментальных функций уравнения (262) или (264). Так как любые линейные комбинации частных решений однородного уравнения также являются его решениями, то можно выбрать в качестве частных решений функции, удовлетворяющие следующему условию для производной порядка в начале координат:

Верхний индекс в круглых скобках означает порядок производной; производной нулевого порядка является сама функция . Например, функция должна иметь при

Частные решения однородного уравнения удовлетворяющие при условию (265), называются нормальными фундаментальными функциями. Выберем частное решение таким, что при само решение и его первых производных обращаются в нуль:

Непосредственным дифференцированием можно показать, что для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами условию (267) и уравнению (262) будет удовлетворять функция

Если являются нормальными фундаментальными функциями и частное решение соответствует условиям (267), то постоянные получают ясный физический смысл.

В результате общее решение дифференциального уравнения (262) можно записать в следующей форме:

Совокупность значений называют начальными параметрами краевой задачи.

Особыми преимуществами овладеют нормальные фундаментальные функции для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, весьма распространенными при решении технических задач. Для таких уравнений удается сразу записать решения, имеющие скачки производных. Цусть в сечении заданы скачки производных

Общий интеграл уравнения (262) при наличии скачков производных в сечении будет таким:

При скачках в других сечениях добавляются аналогичные суммы.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение изгиба стержня постоянного сечения (уравнение (255)):

Частными решениями однородного уравнения

могут быть любые линейно независимые полиномы не выше третьей степени. Легко проверить (проверьте!), что нормальными фундаментальными функциями для уравнения (272) будут следующие:

Уравнение упругой линии стержня теперь получим как частный случай решения (271):

Формула (275) представляет. наиболее общее выражение для прогиба стержня.

В практических задачах скачок прогиба почти не встречается, и можно положить

Скачок первой производной (угла поворота двух смежных сечений) может быть при наличии внутренних шарниров. Скачки второй и третьей производных происходят в сечениях, где приложены сосредоточенные моменты и силы (см. рис. 8.65):

В качестве начальных параметров в задаче об изгибе стержня обычно принимают следующие величины: