Изгибные колебания балки переменного сечения. Решение с помощью интегральных уравнений.

Уравнение изгибных колебаний запишем в виде

Из соотношений (29) и (30) разд. 31 следует

где — амплитудные значения перерезывающей силы и изгибающего момента при колебаниях балки (рис. 12.9).

Рис. 12.9. Изгибные колебания стержней переменного сечения

Уравнение (53) может быть приведено к форме интегрального уравнения, что дает ряд преимуществ для приближенного решения. Проинтегрируем уравнение (53) в пределах от z до l.

Учтем, что перерезывающая сила при отсутствует. Получим

Повторим операцию с учетом условия

Теперь, перенося в правую часть равенства и дважды интегрируя от 0 до z, с учетом условий

получаем интегральное уравнение колебаний консольного стержня

Это — однородное краевое интегральное уравнение, эквивалентное дифференциальному уравнению и соответствующим краевым условиям. Оно называется интегральным потому, что неизвестная функция входит под знак интеграла (в дифференциальном уравнении неизвестная функция подчиняется операциям дифференцирования). В кратком виде уравнение (58) записывается так:

где — интегральный оператор, входящий в правую часть уравнения (58).

Легко видеть, что если является решением уравнения, то функция где С — произвольное число, также представляет его решение (амплитудные прогибы при собственных колебаниях задаются с точностью до множителя).

Уравнение (59) имеет решение которое называется тривиальным, но при некоторых значениях оно имеет отличные от нуля решения. Каждому значению которые называются собственными значениями уравнения (оператора), соответствуют решения формы колебаний стержня (собственные функции).

Для отыскания первой собственной частоты применяется метод последовательных приближений. Задаемся произвольно первым приближением для формы колебаний, например

Следующее приближение находим из уравнения (59) по схеме

Если бы было точным решением, то функции совпадали бы во всех сечениях. Найдем величину из условия, что значения совпадают на конце стержня, где прогибы наибольшие.

Из условия получаем

Обычно уже первое приближение дает погрешность не более 2—5%.

Можно показать, что процесс последовательных приближений всегда сходится к первой собственной частоте. Получение таким способом последующих частот и форм колебаний требует проведения процесса ортогонализации.

Решение с помощью матричного уравнения.

Примем в качестве основных переменных следующие функции (см. разд. 31):

и представим уравнение (53) в виде системы четырех уравнений первого порядка, учитывая, конечно, соотношения (54) и (55):

где штрих, как и раньше, означает дифференцирование по z.

В матричной форме уравнения будут такими:

(65)

где вектор состояния

матрица

Расчет частот и форм колебаний покажем на примере колебаний консольного стержня. Задаемся сначала некоторым значением частоты ; тогда все элементы матрицы А становятся известными.

Учитывая условия (57), найдем два частных решения уравнения (65) при начальных условиях

Интегрирование уравнения (65) проводим одним из численных методов, например методом Рунге — Кутта. Общее решение уравнения (65) можно представить в виде

поскольку краевые условия при удовлетворены выбором начальных условий (68).

Так как в концевом сечении обращаются в нуль, то

В записи уравнений (70) подчеркивается зависимость от так как эта величина входит в матрицу . Из условия существования решения (70) получим

Так как выбранное заранее значение не удовлетворяет условию (71), то расчет проводят заново и находят значения корни уравнения (71). Это и будут частоты колебаний стержня.