Напряжения в диске переменной толщины с переменными параметрами упругости.

В общем случае расчет дисков на растяжение проводится приближенными методами. Важность проблемы прочности дисков вызвала большое число исследований, и в настоящее время известно свыше сорока различных методов расчета. Основные методы можно подразделить на следующие группы:

1) методы разбиения на участки с последующим их сопряжением:

2) методы конечных разностей;

3) методы интегральных уравнений:

4) методы численного интегрирования.

Указанные методы типичны и для других сложных задач инженерного дела. В первой группе диск разбивается на участки более простых профилей, для которых могут быть использованы точные решения (например, на участки дисков постоянной толщины и т. п.). Во второй группе дифференциальные уравнения заменяются конечноразностными. Методы интегральных уравнений основывались на их численном решении с помощью последовательных приближений. Наконец, численные методы используют прямое интегрирование системы дифференциальных или интегральных уравнений первого порядка. Эти методы, получившие широкое применение в связи с расчетами на ЭВМ, излагаются ниже. Рассматривается диск с переменными параметрами упругости и дополнительными деформациями, что дает возможность учета деформаций пластичности и ползучести. Составим систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно радиального усилия и радиального перемещения . Эти переменные не претерпевают разрывов даже при скачкообразном изменении параметров диска (толщины, модуля упругости, температуры и т. п.).

Одно из уравнений непосредственно следует из соотношения упругости (88), которое представим в виде

где — радиальные усилия.

Из равенства (123) вытекает

Далее используем уравнение равновесия (83):

Из соотношений упругости (88) и (89) имеем

и потому

Внося значение из уравнения (124), получаем

Зависимости (126) и (124) образуют систему дифференциальных уравнений

где

Вектор дополнительной нагрузки

Элементы матрицы равны

Уравнение (127) решают по методу начальных параметров, представляя решение в виде

где — решение однородного уравнения

при начальном значении

Вектор соответствует решению однородного уравнения при начальных условиях

Вектор представляет решение неоднородного уравнения (127) при начальном значении

Неизвестные значения начальных параметров определяются из краевых условий. Для дисков с отверстием величина обычно известна, и тогда векторы объединяются: решение принимается в форме

где является решением уравнения (127) при начальном условии

Для сплошных дисков для устранения числовых погрешностей краевое условие удобно ставить на некотором малом радиусе а (обычна ).

Тогда, полагая для сплошного диска

получим из соотношений упругости

где нижний индекс а указывает, что значение параметра относится к радиусу . Зависимости между и возникают и при упругом закреплении дисков.