36. Вариационные методы
Введение.
После приложения внешней нагрузки произойдет деформация конструкции (тела) и установится равновесие. Состояние равновесия можно проверить по выполнению условий равповесия каждого элемента тела, но можно использовать и другой путь: проанализировать поведение системы при малых возможных отклонениях (вариациях). Именно этим путем в теоретической механике (механике твердого, недеформируемого тела) были получепы общие уравнения равновесия Лагранжа (начало возможных перемещений). Состояние упругой деформированной системы может быть однозначно описано перемещениями ее точек в процессе деформации — функциями 
. Полная потенциальная энергия, как будет показано в дальнейшем, может рассматриваться как функциопал
При вариациях функций и, v, w (малых отклонениях, согласованных со связями), которые обозначаются 
изъявляется величина функционала. Считая отклонения достаточно малыми, можно записать
Состояние равновесия системы характеризуется условием
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, остановимся вкратце на математической стороне вопроса.
Пусть имеется функционал, зависящий от функции 
где F — некоторая функция, зависящая от функции 
ее первых производных и независимого переменного 
Например, если 
представляет кривую, проходящую через две заданные точки А и В (рис. 9.9), то функционал
равен длине кривой L.
Рассмотрим другую функцию 
— функцию сравнения, которая проходит через те же точки, и назовем вариацией функции
Вариацию функции можно дифференцировать, причем
Операции варьирования и дифференцирования переставимы; 
означает вариацию функции 
. Вариация функционала (53) равпа приращению фупкционала в результате вариации функции 
и ее производных:
Считая вариации функции малыми величинами и рассматривая 
как независимые аргументы функции F, запишем
где 
- величина более высокой степени малости относительно 
Теперь, используя соотношение (57) и пренебрегая
находим из равенства (56)
Замечание. Поясняя равенство (57), напомним, что функция многих переменных 
может быть разложена в ряд в окрестности точки 
по формуле
где 
.
Равенство (57), в сущности, совпадает с приведенной формулой. Например, если
то
В равенстве (57) отсутствует частная производная но я, так как величина 
варьируется.
