Касательные напряжения стесненного кручения.

Внешний крутящий момент передается от сечения к сечению с помощью касательных напряжений чистого и стесненного кручения.

Будем предполагать, что момент касательных напряжений чистого кручения, распределенных линейно по толщине стенки, определяется прежним соотношением:

где С — жесткость стержня на кручение (см. разд. 28).

При постоянном модуле сдвига имеем

При передаче крутящего момента следует принять во внимание касательные напряжения, вызываемые нормальными напряжениями стесненного кручения.

Рассмотрим равновесие элемента стержня, показанного на рис. 10.9.

Обозначим нормальную силу, действующую на часть сечения с площадью . Учитывая зависимость (24), находим

Из условия равновесия элемента стержня получим

Предполагается, что кромки профиля свободны от касательных усилий.

На основании равенства (27) получаем

Величина

называется приведенным секториальным статическим моментом отсеченной части сечения.

Рис. 10.9. Определение касательных напряжений стесненного кручения

Рис. 10.10. Определение крутящего момента касательных напряжений стесненного кручения

Крутящий момент касательных напряжений стесненного кручения (рис. 10.10) определяется так:

Подставляя значение равенства (29), находим

С помощью интегрирования по частям устанавливаем

Первый член правой части равенства обращается в нуль в силу условия (23).

Величину

будем называть секториальной жесткостью сечения.

При постоянном модуле упругости имеем

где — секториальный момент инерции.

Момент касательных напряжений стесненного кручения (Е = const)

В общем случае

Замечание. Момент касательных напряжений стесненного кручения называют иногда изгибно-крутильным моментом

так как он появляется в результате стеснения осевых деформаций и возникновения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня.

Дифференциальное уравнение стесненного кручения. Внешний крутящий момент уравновешивается касательными напряжениями чистого и стесненного кручения:

Моменты определяются относительно оси, проходящей через центры кручения (ось на рис. 10.11).

Принимая во внимание соотношения (1) и (34), находим

В общем случае на стержень могут действовать распределенные крутящие моменты (см. рис. 10.11) .

В сечении z крутящий момент

где — крутящий момент на единицу длины стержня.

Из соотношения (37) следует равенство

что можно установить также из условия равновесия элемента стержня между сечениями z и

Рис. 10.11. Кручение тонкостенного стержня распределенными моментами. Ось — ось, проходящая через центры кручения (центры поворота) сечений

Дифференцируя равенство (36) по z, приходим к основному уравнению стесненного кручения:

Для стержня с переменными параметрами упругости уравнение стесненного кручения будет таким:

Для стержня постоянного сечения с постоянными характеристиками жесткости по длине

где