Напряжения в плоскости поперечного сечения.

На рис. 10.27 показан элемент стержня, выделенный двумя поперечными сечениями на расстоянии, друг от друга.

Рис. 10.27. Напряжения в плоскости поперечного сечения стержня

Рис. 10.28. Краевые условия для функции напряжений

Напряжения будем для краткости называть напряжениями в плоскости поперечного сечения (точнее, напряжениями, векторы которых лежат в указанной плоскости).

Так как напряжения не зависят от z и составляющие массовых сил отсутствуют, то первые два уравнения равповесия будут удовлетворены, если положить

где — функция напряжений.

Третье уравнение равновесия будет удовлетворено, так как напряжение о постоянно по длине, а касательные напряжения отсутствуют (кручение стержня не рассматривается). Из соотношений упругости следует, что

Рассмотрим теперь уравнения совместности деформаций (см. разд. 11). Из первого уравнения и зависимостей (121) — (123) получаем

где — двумерный оператор Лапласа:

Все остальные уравнения совместности деформаций будут выполняться. Уравнение (124) представляет уравнение плоской задачи с дополнительным членом, зависящим от напряжения .

Краевые условия для функции напряжений вытекают из условий равновесия элемента, примыкающего к контуру стержня (рис. 10.28):

где v — вектор нормали к контуру; — распределенная нагрузка на поверхности (в мегапаскалях); — косинусы углов между направлением v и осями х и у. Нагрузки должны быть постоянными по длине и самоуравновешенными.

Используя зависимости (120), получаем краевые условия (в точках контура) для функции напряжений