ГЛАВА 16. ПЛАСТИНКИ И ОБОЛОЧКИ

В современной технике мпогие элементы копструкцпй могут рассматриваться как тела, у которых одни размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими.

Если срединная поверхность таких тел плоская, то они называются пластинками, если искривленная — оболочками.

51. Пластинки

По форме срединной поверхности в плане различают круглые и прямоугольные пластинки (рис. 16.1). Значительно реже используются расчетные модели в виде эллиптических, треугольных и других пластинок.

Рис. 16.1. Круглые и прямоугольные пластинки

В зависимости от относительной толщины пластинки различают тонкие и толстые пластинки (плиты) Расчетные модели для указанных пластинок различны.

В дальнейшем ограничимся изучением прочностных моделей тонких пластинок.

Основные гипотезы припостроении прочностных моделей пластинок.

В инженерной практике применяются две основные гипотезы при построении прочностных моделей тонких пластинок.

Обе они используют то обстоятельство, что толщина пластинки мала по сравнению с её размерами в плане.

Первая гипотеза, принадлежащая Кирхгофу, утверждает, что нормаль к срединной поверхности (плоскости) оболочки остается нормалью к ней после деформации. Эта гипотеза, вполне аналогичная гипотезе плоских сечений при изгибе и растяжении стержней, называется гипотезой жесткой нормали.

Вторая гипотеза утверждает, что напряженное состояние в точках пластинки является двуосным; нормальными и касательными напряжениями в площадках, перпендикулярных оси z, можно пренебречь.

Уравнения равновесия для осесимметричного изгиба и растяжения круглых пластинок.

Осесимметричная деформация круглых пластинок возникает, когда нагружение и условия закрепления являются осесимметричными.

В общем случае к элементу пластинки (рис. 16.2) приложены распределенные (на единицу площади срединной поверхности) нагрузки

Рис. 16.2. Усилия и моменты, приложенные к элементу пластинки

По граням элемента действуют (на единицу длины) изгибающие моменты усилия и перерезывающее усилие . В силу симметрии имеем .

Измененное значение силового фактора в связи с приращением координаты отмечено верхним индексом (звездочкой).

Составим проекцию всех сил на радиальное направление (см. уравнение (83) разд. 48):

или

При действии центробежных сил получим

Уравнение (1) было выведено ранее (в разделе о растяжении дисков). Равновесие сил в вертикальном направлении приводит к следующему равенству:

или

Теперь составим уравнение моментов относительно касательной к окружности радиусом (рис. 16.2):

Моменты вошли в уравнение, так как имеют составляющие относительно рассматриваемой оси.

В уравнении (4) должны быть сохранены члены второго порядка малости, так как члены первого порядка взаимно уничтожаются, члены третьего порядка, и среди них момент от поперечной распределенной нагрузки, должны быть отброшены.

В результате получим.