Изгиб и кручение тонкостенных стержней. Нормальные напряжения.
Разберем теперь общий случай нагружения стержня, когда внешние силы дают в поперечном сечении не только крутящий момент, как это предполагалось ранее, но также изгибающие моменты и усилия (рис. 10.14).
Рис. 10.14. Изгиб и кручение тонкостенного стержня: О — центр тяжести сечения; 01 — центр кручения, или центр жесткости сечения; 
— координаты центра кручения; х, у — главные оси
Внешние силы приводятся к главным осям сечения х, у в виде перерезывающих усилий 
осевого усилия 
изгибающих моментов 
и момента 
относительно оси z, проходящей через центр тяжести сечения.
Будем считать, что сечение стержня не деформируется в своей плоскости и к обычным деформациям стержня на основе гипотезы плоских сечений добавляются деформации, связанные с депланацией сечения при кручении.
Тогда перемещения точки А сечения стержня могут быть представлены так (см. разд. 27):
где 
— углы поворота сечения относительно осей х, у. Последний член правой части равенства (61) выражает осевое смещение (депланацию) при кручении. Угол поворота сечения 
определяется относительно оси, перпендикулярной плоскости поперечного сечения (он одинаков для осей z и 
проходящих через центр тяжести О или через центр кручения 
).
Величина со в равенстве (61) представляет секториальную площадь и зависит от дуги s, характеризующей положение точки А (см. рис. 10.14), а полюса, который принимается в центре кручения 
Здесь и в дальнейшем под со понимается главная секториальная площадь, удовлетворяющая условиям
Оси 
у являются главными осями сечения, и для них
Деформация в точке А в направлении оси z равна
Для упругого, равномерно нагретого материала, используя гипотезу одноосного напряженного состояния, находим, что деформациям 
отвечают напряжения
Теперь из условий равновесия
учитывая равенства (62) и (63), получим
Где жесткости стержня на растяжение и изгиб равны
Нормальные напряжения в стержне с учетом соотношений (67) и (65) будут такими:
Формуле для нормальных напряжений в тонкостенном стержне можно придать более удобный вид, если ввести понятие бимомента
Умножая обе части равенства (69) на со и интегрируя по всей площади сечения, находим в силу условий (62)
где 
- секториальная жесткость сечения.
Подставляя значение 
в соотношение (69), получаем
Для стержня с постоянными параметрами упругости имеем
Замечания. 1. Как видно из - соотношения (73), в теории тонкостенных стержней распределение деформаций и напряжений при изгибе не подчиняется гипотезе плоских сечений. Гипотеза дополняется, законом секториальной площади.
2. Величина бимомента 
имеет размерность [
], т. е. отличается от размерности обычных моментов.
Другое отличие состоит в том, что значение 
в поперечном сечении стержня в противоположность изгибающим моментам 
не может быть найдено из условий равновесия. Это объясняется тем, что. величина 
определяется самоуравновешенной системой сил. Значения 
определяются в самом процессе решения. Если в концевых сечениях стержня внешние усилия заданы, то становится известной и величина бимомента.
Условие (71) показывает, что осевые силы, приложенные к торцу стержня, могут вызвать закручивание тонкостенного стержня при
3. Формулу для нормальных напряжений (69) можно представить в виде суммы
где
— обычные напряжения изгиба;
— нормальные напряжения стесненного кручения (соотношение (24)).
Такое «разделение» произошло потому, что координаты х, у и секториальная площадь удовлетворяют условиям (62) и (63),
