Деформация круглых пластинок.

Точка лежащая в срединной плоскости пластинки, при осесимметричной деформации получает смещение вдоль радиального направления (рис. 16.3) и смещение (прогиб) w вдоль оси z. Положительное направление прогиба w примем противоположным направлению оси z. Перемещение в радиальном направлении точки А, отстоящей на расстояние z от точки , будет равно

где - угол поворота нормали (отрезка ) в результате деформации.

Соотношение (6) является выражением гипотезы жесткой нормали.

Рис. 16.3. Деформация при осесимметричном нагружении круглых пластинок

При осесимметричной деформации имеем

Внося в последние равенства соотношение (6), находим

где — деформации срединной поверхности. Из равенств (9) и (10) вытекает, что деформации в пластинке распределяются по толщине стенки линейно.

Соотношения упругости для круглых иластинок.

При двуосном напряженном состоянии (вторая гипотеза)

или, в другой форме,

Температура в точках пластинки

изменяется по радиусу и толщине.

Рис. 16.4. Связь напряжений и силовых факторов

Учитывая соотношения (9) и (10), запишем уравнения (13) и (14) в такой форме (при отсутствии нагрева)

где напряжения в плоскости пластинки (напряжения растяжения) равны

а напряжения изгиба —

Отметим, что напряжения изгиба линейно изменяются по толщине стенки. Для точек срединной плоскости они обращаются в нуль. Усилия и моменты (на единицу длины), действующие в пластинке, связаны с напряжениями следующими простыми соотношениями (рис. 16.4):

(22)

Подставляя в последние равенства зависимости (13), (14) и считая параметры упругости постоянными, получаем важные соотношения:

где

— жесткость на изгиб единицы длины сечения (множитель ) в знаменателе связан с плоским напряженным состоянием). Из уравнений (23) — (26) и уравнений равновесия вытекает существенный результат: папряжеппые состояния в плоскости пластинки определяются независимо от ее изгиба.

Усилия определяются из условия равновесия (1) и соотношений (23), (24). Они соответствуют уравнениям, полученным в разд. 48 для растяжения пластинки.

Для определения изгибных напряжений в пластинке используются уравнения равновесия (3), (5) и соотношения (25), (26).