Расчет стержней по полупространствениой теории.

Напряжения в стержнях описываются связанной системой уравнений (118) и (124) (в уравнение (118) входят в уравнение (124) — величина .

Для случая постоянного коэффициента уравнение плоской задачи (124) может быть решею независимо от уравнения (118).

В большинстве практических задач допущение не вызывает существенной погрешности.

При постоянном из соотношения (118) получаем

Простой вид равенства (127) связан с тем, что формулы (118) содержат линейные члены относительно х и у, которые после двукратного дефференцирования исчезают. Внося значение (127) в уравнение (124), получаем

Наконец, при постоянном модуле упругости Е из уравнения (128) находим

где

— бигармонический оператор.

Уравнения (128) или (129) являются уравнениями плоской задачи теории упругости (задачи о плоской деформации) для области, представляющей собой поперечное сечение стержня.

После решения плоской задачи становятся известными значения которые подставляются затем в равенство (119).

Полученные результаты распространяются на приближенный расчет стержней переменного сечения при наличии поперечных нагрузок. Уравнения (118) и (128) используются для каждого сечения независимо от других, как это принято в обычной теории стержней.

Касательные напряжения изгиба определяются из уравнений равновесия.

Замечания. 1. Из приведенного решения следует, что напряжения в плоскости сечения связаны главным образом с действием неравномерного нагрева. Если коэффициент Пуассона постоянный и распределенные усилия на боковой поверхности отсутствуют, то в равномерно нагретом стержне (однородное уравнение (128) при однородных краевых условиях имеет только нулевое решение).

2. Возникновение указанных напряжений при. изменении коэффициента Пуассона в точках поперечного сечения не имеет практического значения ввиду их малости. Сказанное подтверждает используемую в обычной теории стержней гипотезу об одноосном напряженном состоянии, за исключением случаев неравномерного нагрева сечения стержня и (или) значительной (самоуравновешенной) поперечной нагрузки.