Остаточные напряжения.

Определим остаточные напряжения в стержне после снятия момента, вызвавшего пластическую деформацию. Если материал стержня идеально упругий, то момент М приведет к напряжениям

По такой зависимости будут убывать напряжения при снятии момента, так как при разгрузке деформации становятся упругими. Остаточные напряжения (рис. 8.43, в)

где о — напряжения при упругопластических деформациях. Значения соответствуют одному и тому же изгибающему моменту, причем — напряжение в идеально упругом теле (такое тело деформируется по законам упругости при любом уровне напряжений).

Замечание. Условие (130) для определения остаточных напряжений после возникновения (в прямом нагружении) пластических деформаций является следствием теоремы Генки.

Плоский изгиб и растяжение стержня с учетом деформации пластичности.

На стержень действуют изгибающий момент М и растягивающее усилие N (рис. 8.45). Изгиб стержйя происходит в плоскости у, z.

По гипотезе плоских сечений деформация

Задача состоит в определении параметров деформации .

Из условий равновесия вытекает, что

Перейдем к новой переменной , и тогда с учетом зависимости (131) равенства (132) и (133) будут такими:

где — величины деформации при

Задача существенно упрощается при отсутствии растягивающего (сжимающего) усилия N и для сечений с двумя осями симметрии (рис. 8.46).

Рис. 8.45. Общий случай плоского изгиба при упругопластических деформациях

Рис. 8.46. Изгиб стержня с поперечным сечением, обладающим двумя осями симметрии

Помещая начало координат в центре тяжести сечения и считая зависимость (121) одинаковой при растяжении и сжатии, получим так как ось х оказывается нейтральной линией сечения. Из условия (135) находим

где — наибольшая деформация в крайних волокнах сечения, В рассматриваемом случае

и из равенства (136) получаем

При заданном значении h строится функция и находятся значения , удовлетворяющие условию (137). Вычисление начинается с определения значений , соответствующих работе материала в упругой области:

В упругопластическон стадии

При совместном действии изгиба и растяжения, используя условия равновесия (132) и (133) и зависимость (131), приходим к системе уравнений

относительно параметров деформации

Обозначив

решим систему уравнений (138) методом Ньютона — Раффсона. Выбирая исходное приближение и раскладывая функции в ряд в окрестности указанных приближений, получим

где производные относятся к точке

Отметим следующие равенства:

где — касательный модуль.

Из уравнения (140) находим значения которые принимаются в качестве второго приближения. Первое приближение может быть принято по формулам для упругого материала.

Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений.

Замечание. Процедура расчета по равенству (140) близка к методу переменных параметров упругости, по является менее общей. Она пригодна в тех случаях, когда деформация определяется на основе гипотез кинематического характера.