Определение прогибов и напряжений в пластинке вариационным методом.

Будем использовать вариационный метод Галёркина, в соответствии с которым примем следующее выражение прогиба:

где — заранее выбранные функции, удовлетворяющие краевым условиям задачи; — коэффициенты, подлежащие определению.

Коэффициенты найдем из системы уравнений

Система уравнений (70) может быть представлена в матричной форме:

Точность решения возрастает при увеличении числа членов ряда.

Пример. Определить прогиб пластинки, шарнирно опертой по четырем сторонам (рис. 16.10), при действии равномерно распределенного давления.

Рис. 16.10. Прямоугольная пластинка, шарнирно опертая по четырем сторонам, под действием постоянного давления

Краевые условия состоят в отсутствии прогибов и изгибающих моментов по краям пластинки. Этим условиям удовлетворяет функция

При одном параметре из уравнений (70) находим

Вычисления дают

Окончательно получаем

что дает погрешность порядка 10%. Знак минус означает, что прогиб направлен противоположно оси z.

Замечание, В круглых и прямоугольных пластинках применялось различное правило знаков для положительного значения прогиба. Разумеется, окончательные результаты не зависят от правила знаков, но следует выработать умение делать вывод, сопоставляя его с расчетной схемой и принятыми в ней положительными направлениями.