Касательные напряжения изгиба. Центр жесткости сечения.

При кручении и изгибе тонкостенного стержня возникают касательные напряжения чистого и стесненного кручения и касательные напряжения изгиба. Все эти группы касательных напряжений могут рассматриваться отдельно. Ранее были изучены касательные напряжения чистого и стесненного кручения, и потому займемся касательными напряжениями изгиба. Вкратце они рассматривались в разд. 31, где был разобран соответствующий пример.

Исходным для расчета является условие равновесия (28), при чем выражение для будет таким:

Интегралы распространяются на отсеченную часть сечения, площадь которой . Из равенства (28), считая осевое усилие N постоянным, находим касательные напряжения поперечного изгиба

где — упруго-статические моменты отсеченной части сечения.

Из условий равновесия элемента стержня (рис. 10.15) получаем

и тогда формула для касательных напряжений изгиба имеет вид

При постоянном модуле упругости

где — статические моменты части площади сечения .

Касательные напряжения изгиба в поперечном сечении образуют систему сил (разд. 30), которая, если ее приводить к центру тяжести сечения, эквивалентна не только перерезывающему усилию, но и крутящему моменту (рис. 10.16, а).

Точка поперечного сечения относительно которой касательные напряжения изгиба не дают момента, называется центром жесткости сечения или центром изгиба.

Рис. 10.15. Условия равновесия элемента стержня

Рис. 10.16. Понятие о центре жесткости поперечного сечения (О — центр тяжести, — центр жесткости). Система касательных усилий приводится к центру тяжести (а) или к центру жесткости (б)

Покажем сначала, что центр жесткости совпадает с центром кручения (точкой ).

Определим момент касательных усилий изгиба относительно точки , в которой помещается полюс главной секториальной площади. Момент будет равен (см: рис. 10.10 и (30))

Учитывая (62), (63) и интегрируя по частям, находим,

Следовательно, момент касательных усилий, вызванных касательными напряжениями изгиба, обращается в нуль относительно центра кручения (точки поворота сечения при кручении). Центр жесткости совпадает с центром кручения.

Этот же результат можно получить другим путем. Равенство (81) справедливо, конечно, при произвольном выборе точки . Нетрудно заметить, что

если всегда выполняются условия

Для главных осей сечения х, у условия (83) и равенства (82) приводят к зависимостям

определяющим положение центра жесткости (центра изгиба). Но соотношения (84) ранее были установлены для центра кручения (уравнения (62) и (63)), что и доказывает их совпадение.

Замечания. 1. Тождественность центра жесткости и центра кручения при упругих деформациях можно рассматривать как следствие теоремы взаимности. Для этого достаточно рассмотреть две системы сил, приложенных к свободному торцу консольного стержня: поперечную силу и крутящий момент.

2. Равенства (84), определяющие положение центра щесткости тонкостенного профиля, получаются из обычного рассмотрения касательных напряжений изгиба. Они не связаны непосредственно с проблемой стесненного кручения.

Пример. Изгиб стержня швеллерного сечения поперечной силой (рис. 10.17).

Рис. 10.17. Изгиб тонкостенного стержня поперечным усилием

Определим касательные напряжения при изгибе стержня, пользуясь формулой (80).

Найдем положение центра жесткости сечения по распределению касательных напряжений изгиба.

Крутящий момент касательных усилий при изгибе относительно точки — центра жесткости, отстоящего от средней линии стенки ВС на расстояние а, должен быть равен нулю:

Первый член выражает момент от касательных усилий в стенке ВС (их равнодействующая равна Q); второй член — момент от касательных усилий в полках (множитель 1/2 появляется в силу линейного распределения напряжений вдоль полки; толщина профиля считается малой). Из равенства (85) получаем

Расстояние между центром жесткости и центром тяжести сечения

Этот результат можно получить из общих формул (84) для координат центра жесткости, что будет сделано в дальнейшем. Относительно оси стержня касательные напряжения изгиба (точнее, касательные усилия) создают момент

Так как внешние силы, приложенные к стержню, сводятся к силе Q, то полный крутящий момент в сечении (относительно оси стержня) должен обращаться в нуль. Следовательно, в сечении должны образоваться касательные усилия, дающие крутящий момент, равный но противоположно направленный. Он возникает за счет крутильной деформации стержня, вызываемой моментом

Если осевое стеснение в заделке отсутствует, то крутящий момент вызывает касательные напряжения чистого кручения, распределенные линейно по толщине стенки (рис. 10.18).

При несовпадении центра тяжести и центра жесткости сечения поперечная нагрузка, приложенная в центре тяжести (рис. 10.17), вызывает не только изгиб, но и кручение стержня.

Рис. 10.18. Касательные напряжения изгиба и чистового кручения тк в поперечном сечении стержня

Величина крутящего момента равна моменту силы относительно центра жесткости сечения.

Оценим величины касательных напряжений изгиба и кручения для стержня швеллерного профиля -(рис. 10.18). Касательное напряжение чистого кручения по формуле (4)

Наибольшее касательное напряжение изгиба

При

Для тонких профилей касательные напряжения кручения, вызванные поперечной силой Q (см. рис. 10.18), значительно превосходят касательные напряжения изгиба.

Угол поворота концевого сечения

При малых угол поворота возрастает, так как не зависит от .