ГЛАВА 15. БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ И ПРУЖИНЫ

49. Изгиб балок на упругом основании

Вводные замечания.

Если балка (стержень), опирается на ряд близко расположенных упругих опор, то можно считать, что балка лежит на сплошном упругом основании (рис. 15.1). Такая расчетная модель применяется во многих случаях.

Рис. 15.1. Расчетная модель балки на упругом основании

Рис. 15.2. Балка на упругом основании (схема рельсового пути на шпалах)

На рис. 15.2 показана схема рельсового пути, причем как шпалы, так и рельсы могут приближенно рассматриваться как балки на упругом основании (многие видели значительную осадку рельс при прохождении поезда).

Если прогиб балки , то со стороны упругого основания возникает распределенная нагрузка

где к — коэффициент упругого основания.

Знак минус в формуле (1) имеет принципиальное значение: возникающее усилие направлено в сторону, противоположную прогибу.

Рис. 15.3. Усилия, возникающие при общих прогибах корпуса судна

Еще один пример расчетной модели балки на упругом основании: приближенный расчет корпуса судна по стержневой теории. Длина современных танкеров достигает 200—300 м и более, размеры поперечного сечения можно считать малыми по сравнению с длиной.

Это дает осповалия для примепония модели стержня.

При прогибе (рис. 15.3) возникает дополнительное усилие (на единицу длины)

где - удельный вес жидкости, — поперечный размер по ватерлинии. Коэффициент упругого основания может изменяться по длине балки.

Рис. 15.4. Условие равновесия элемента балки на упругом основании

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании.

На элемент балки длиной dz (рис. 15.4) кроме распределенной нагрузки от внешних сил действует распределенная нагрузка от упругого основания Уравпепие изгиба балки на упругом основании отличается от основного уравнения изгиба стержня (разд. 34) только наличием дополнительного члена в правой части

или в окончательной форме

Для изгибающего момента и перерезывающей силы справедливы полученные ранее зависимости:

Замечания 1. Распределенная нагрузка от упругого основания принимается равной

и соответствует физической модели, - когда пружины (рис. 15.1) припаяны к балке. При положительном прогибе усилие основания направлено вниз. Такие связи балки и основания называются двусторонними.

Во многих случаях упругая среда оказывает сопротивление, когда прогиб направлен в глубь среды (см. рис. 15.1) при и не действует на балку при противоположном направлении прогиба (балка положена на пружины, балка на грунте и т. п.); тогда следует считать

Для односторонних связей (условие ) уравнение (4) оказывается нелинейным и решается методом последовательных приближений.

В первом приближении связи считаются двусторонними и определяются области, где . Во втором приближении в указанных областях полагают и находят новые границы областей и т. д.

2. Упругое полупространство (упругая среда) лишь приближенно можно рассматривать как упругое основание (рис. 15.5). В равенстве (1) предполагается, что прогиб определяется усилием в том же сечении.

Рис. 15.5. Балка, лежащая на упругом полупространстве

В упругом полупространстве прогиб зависит от распределении нагрузки во всех других сечениях

где — прогиб в сечении z от единичной силы в сечении (функция влияния).

В рассматриваемом случае решение получается значительно более сложным и относится к контактным задачам.

3. Интересно отметить, что задача об изгибе балки на упругом основании имеет много общего с задачей осесимметричной деформации оболочек вращения. Роль «упругого основания» в оболочках играет реакция кольцевых слоев на радиальное перемещение.