Применение начала возможных перемещений, вариационное уравнение Лагранжа.
Пусть имеется твердое деформируемое тело (рис. 9.10), к поверхности которого приложены распределенные нагрузки 
, а на элементы тела действуют массовые (объемные) силы F.
Рис. 9.10. Применение начала возможных перемещений
Допустим, что упругие смещения точек тела 
получили вариации (возможные перемещения) 
, совместимые с геометрическими связями. Поэтому на части поверхности 
где смещения являются заданными (например, поверхность заделки), вариации смещений отсутствуют. В результате вариации смещений изменится потенциальная энергия деформации и произойдет работа внешних сил
где 
— часть поверхности тела с заданными внешними усилиями.
Начало возможных перемещений применительно к деформируемому телу формулируется следующим образом: в состоянии равновесия возможная работа внешних сил равна приращению потенциальной энергии деформации:
Начало возможных перемещений (73) можно записать в виде вариационного уравнения Лагранжа
где U — потенциальная энергия деформации;
— возможная работа внешних сил.
При определении возможной работы значения и направления внешних нагрузок считаются неизменными (множитель 1/2 отсутствует).
Вариация функции W (уравнение (72)) получается в результате варьирования перемещений при постоянных внешних силах. Легко видеть, что W равно удвоенной работе внешних сил, приложенных статически к упругому телу:
Величина
называется полной потенциальной энергией системы.
Величину П можно представить в матричной форме (см. уравнение (15)):
где
— векторы перемещений, поверхностной нагрузки и массовых сил. При решении задач теории упругости с помощью вариационного уравнения Лагранжа обычно в качестве основных неизвестных принимаются смещения 
, что обеспечивает выполнение условий совместности деформаций. Вариационное уравнение
гарантирует выполнение уравнений равновесия и краевых условий, т. е. приводит к точному решению задачи.
Замечания. 1. При выводе формулы для полной потенциальной энергии системы (функционала Лагранжа) не требовалось выражение для вариации энергии деформации. Оно имеет следующий вид:
В правой части равенства (72) стоит возможная работа внутренних силовых факторов, которые при вариации деформаций считаются постоянными. В связи с этим начало возможных перемещений для деформируемого тела можно представить в более общей форме:
пригодной и для неупругих систем.
В состоянии равновесия возможная работа внешних сил равна возможной работе внутренних силовых факторов.
2. Вариация полной потенциальной энергии происходит в результате вариации перемещений. Последние должны удовлетворять наложенным на Систему связям, (внешним—условиям закрепления и т. п. и внутренним — условиям непрерывности деформаций).
Полная потенциальная энергия деформации выражается через перемещения и их производные. Методы, основанные на начале возможных перемещений, часто называют методами вариации перемещений.
