24. Статически неопределимые стержневые системы

Вводные замечания.

Всякое деформируемое тело при определении в нем напряжений и деформаций представляет собой в общем случае статически неопределимую систему, так как уравнений статики недостаточно для решения задачи.

Статически неопределимые стержневые системы являются простейшими моделями общих задач механики деформируемого тела.

Они позволяют выявить закономерности поведения элементов конструкции в рабочих условиях при работе материала в упругой области при возникновении пластичности и ползучести, температурных напряжений и т. д. Однако не только методические соображения делают полезным изучение статически неопределимых стержневых систем — они встречаются на практике в различного рода машинах и сооружениях.

Особенности поведения статически неопределимых систем разберем на примере трехстержневой системы.

Трехстержневая система. Работа в упругой области. Модель надежности по допускаемым напряжениям.

Система показана на рис. 6.25. Усилие Р воспринимается тремя стержнями, причем крайние стержни одинаковые. Требуется определить при работе материала в упругой области усилия и напряжения в стержнях и построить модель прочностной надежности системы.

Рис. 6.25. Трехстержневая система

Статические уравнения задачи представляют собой условие равновесия узла А (рис. 6.25, б):

где — усилия в стержнях. Геометрические уравнения связывают перемещение точки А и удлинение стержней:

(91)

где б — перемещение, точки А в результате действия усилия Р. Из последних уравнений вытекает равенство

Условие (93) представляет собой условие совместности перемещений стержней в узле А.

Деформации в стержнях связаны соотношением

так как

Физические уравнения выражают работу материала стержней в упругой области (см. гл. 5):

где — деформация, напряжение, модуль упругости.

находим перемещения концов стержней:

Соотношения (90) — (92), (94) и (98) образуют систему линейных уравнений, которая легко решается относительно перемещений или усилий (напряжений).

При решении задачи «в перемещениях» усилия в уравнении равновесия выражают через удлинения стержней. Из урав- нений (99) и (100) получаем

Внося значения в соотношение (90) и учитывая зависимость (93), получаем

Из последнего соотношения находим

Внося значение в равенство (101) и учитывая (95), находим

Из условия (90) следует, что

В последних соотношениях коэффициент

(107)

представляет отношение жесткостей сечений стержня. Удлинение центрального стержня

Если модули упругости материала и площади поперечных сечений стержней одинаковы, то

Для-решения задачи «в напряжениях или усилиях» используем уравнение совместности (93), куда вносятся значения их и из соотношений упругости

или

Используя уравнение равновесия (90), получим соотношения (105) и (106). В рассматриваемом случае решение задачи в усилиях проще, чем в перемещениях.

Модель надежности по допускаемым напряжениям исходит из условия

где атах — наибольшее напряжение растяжения; — допускаемое напряжение; — предел прочности материала; — запас прочности по пределу прочности.

Так как материалы стержней разные, то допускаемое значение для внешней нагрузки Р определяется по условиям прочности отдельных стержней.

Из условия прочности для центрального стержнй

где — предел прочности материала центрального стержня. Для боковых стержней условие прочности имеет вид

где — предел прочности материала боковых стержней.

Модель надежности системы будет содержать два условия:

Неравенства (113) и (114) вытекают из (111) и (112), если учесть соотношения (105) и (106).

По условиям надежности ограничение величины усилия определяется наиболее слабым звеном системы, т. е. минимальным значением .

Если площади сечений и материалы стержней одинаковы надежность лимитируется центральным стержнем:

В некоторых случаях запас прочности определяют относительно предела текучести . Тогда модель надежности приобретает следующий вид:

— запас прочности по пределу текучести.

Анализ работы конструкции в упругой области проведем для случая стержней с одинаковой площадью поперечного сечения и выполненных из одного материала . Из формулы (109) сразу следует

Центральный стержень под действием усилия P (см. рис. 6.26) загружен существенно больше боковых. Например, при

Это объясняется тем, что удлинение центрального стержня больше удлинений боковых а деформация еще больше, так как . При центральный стержень воспринимает больше половины всей нагрузки:

С точки зрения оптимального проектирования целесообразно принять (рис. 6.26), и тогда .

Такое решение является оптимальным, если на систему не могут действовать случайные (нерасчетные) усилия, имеющие составляющие, перпендикулярные оси стержней.

Замечание. При создании инженерных конструкций необходимо учесть все возможные внешние силы не только в рабочих условиях, но и при транспортировке, монтаже и т. п.

Здравый смысл, жизненный опыт крайне необходимы при проектировании!