Связь модуля сдвига с модулем упругости и коэффициентом Пуассона.

Эту связь установим на проком примере одноосного растяжения (рис. 5.4).

Найдем деформацию сдвига между направлениями, составляющими угол с направлением одноосного растяжения пластинки. Рассмотрим деформацию квадрата ABCD, диагонали которого равны . Размеры квадрата при рассмотрении деформаций следует считать бесконечно малыми, но так как напряжения во всех точках пластинки одинаковы, то вывод справедлив и для квадрата конечных размеров. После деформации вершины квадрата будут в точках и произойдет деформация сдвига (изменение угла) между направлениями АВ и ВС:

Деформация растяжения в продольном направлении равна в поперечном она составляет и потому

Рис. 5.4. Деформация сдвига между направлениями, составляющими угол с направлением растяжения

В последнем равенстве учтено, что величина мала по сравнению с единицей и тогда

Символ означает члены, порядок малости которых не ниже s. Из соотношения (11) получаем

так как деформация сдвига мала по сравнению с единицей . Сопоставляя зависимости (12) и (14), находим

По граням действуют касательное напряжение

и такой же величины нормальное напряжение (на рис. 5.4, а оно не показано). Равенство (16) вытекает из результатов разд. 5, но его легко получить непосредственно, рассматривая напряжения в площадке под углом 45° (рис. 5.4, б).

Используя равенство (8) и учитывая, что

находим из соотношения (15)

Ссылаясь на зависимость (16), получаем важный вывод!