ГЛАВА 5. МОДЕЛИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ

Вводные замечания.

Ранее изучалась картина напряжении и деформаций в твердом деформируемом теле. Связь напряжений в различных площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, условия равновесия элемента тела устанавливались с помощью уравнении статики и не зависели от физических свойств материала.

Связь перемещений и деформаций, условия совместности деформаций выводились из геометрических соображений и также не зависели от физических свойств материала. При изучении напряжений (статическая задача) и деформаций (геометрическая задача) материал рассматривался как сплошная однородная среда, и знания конкретных свойств материала не требовалось. Теперь необходимо выяснить общие связи между деформациями и напряжениями, что представляет собой физическую задачу, так как должно учитываться поведение реальных тел.

В предыдущей главе мы познакомились с результатами экспериментальных исследований, проводимых главным образом при растяжении образцов материала. Наша ближайшая задача — обобщение экспериментальных данных для общего случая нагружения при многоосном напряженном состоянии. Всякое обобщение представляет собой модель явления, и нам предстоит рассмотреть модели упругости, пластичности и ползучести.

Замечание. Ранее неоднократно упоминалось о моделях надежности материала и т. п. Установление зависимостей между параметрами, описывающими явление, в сущности, и есть построение модели. Можно говорить о модели идеального газа, жидкости и т. д. Каждая модель, отражая объективную реальность, имеет область существования, в которой она дает необходимую точность. Наиболее универсальные, практически проверенные модели называются законами.

18. Модели упругости

Связь относительных линейных деформаций и нормальных напряжений.

При экспериментальном исследовании растяжения образца были установлены в пределах упругих деформаций зависимости для продольной и поперечной деформаций соответственно

где Е — модуль упругости материала, — коэффициент Пуассона. Форма образца (цилиндрическая или призматическая)] несущественна для приведенных зависимостей.

Если на призматический образец (рис. 5.1, а) наклеить на боковые грани тензометры для измерения линейных деформаций, то при действии напряжения вдоль оси образца получим следующие значения деформаций:

Зависимости (1) — (3) следует считать экспериментально установленными для изотропного материала, т. е. материала, упругие свойства которого во всех направлениях одинаковы.

Рис. 5.1. Напряжения и линейные деформации при одноосном (а) и трехосном (б) напряженных состояниях

В случае трехосного (объемного) напряженного состояния (рис. 5.1, б) следует учесть действие всех трех напряжений:

Принимая в пределах малых упругих деформаций постулат независимости действия сил, представим линейную деформацию в направлении 1 в виде

Деформация в направлении 1 от действия напряжения равна

Направление 1 является поперечным для направлений 2 и 5, и потому

Окончательно

Подобным образом устанавливаем зависимости для линейных деформаций в направлении осей 2 и 5. В результате будем иметь следующие важные соотношения, которые называются законом Гука для линейных деформаций:

Уравнения (6) неоднократно подтверждались с помощью экспериментальных исследований при двухосном напряженном состоянии и другими способами. Соотношения упругости для линейных деформаций были установлены для главных паправлепий (в перпендикулярных площадках действовали только нормальные напряжения).

Используя приведенные в разд. 4 и 10 соотношения для нормальных напряжений и линейных деформаций в косых площадках, можно показать, что соотношения (6) будут справедливы для любых трех взаимно перпендикулярных направлений (осей х, у, z, рис. 5.2):

где относительные линейные деформации вдоль соответствующих осей; — нормальные напряжения в площадках, перпендикулярных осям х, у, z соответственно.

Рис. 5.2. Общий случай трехосного напряженного состояния

Рис. 5.3. Экспериментальное определение зависимости деформации сдвига от величины действующих касательных напряжений

Соотношения (7) справедливы и при наличии касательных напряжений в соответствующих площадках. Последнее понятно, так как при малых деформациях, вызываемый касательными напряжениями скос (сдвиг) не влияет на изменение длины отрезков.