Уравнение упругой линии стержня.

Продолжим рассмотрение изгиба в одной из главных плоскостей (в плоскости ) и будем считать, что нормальные усилия N в сечениях стержня Тогда из уравнений (223) и (226) находим

Полученное соотношение представляет уравнение упругой линии в дифференциальной форме.

Проинтегрируем обе части уравнения (237) от 0 до z; получим

где — переменная интегрирования .

В последнем равенстве — угол поворота (точнее, угол поворота в сечении стержня ).

Проинтегрировав обе части равенства (238) в тех же пределах, найдем

где — прогиб стержня в сечении

Уравнение (239) представляет собой уравнение упругой линии. Входящие в него значения прогиба и угла поворота сечения при определяются из условия закрепления стержня и граничных условий.

Замечание. Напомним, что величина интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования. Например,

Одинаковое обозначение переменной интегрирования и переменного предела интегрирования может приводить к недоразумениям, поэтому в равенствах (238) и (239) вводятся обозначения

Примеры, поясняющие применение уравнения упругой линии.

1. Прогибы консольного стержня постоянноч сечения под действием сосредоточенной силы Р (рис. 8.61). Стержень называется консолъным, если одно из концевых сечений жестко закреплено, а другое свободно. Жесткое закрепление в сечении (заделка) означает, что

т. е. смещение и угол поворота в заделке отсутствуют.. Изгибающий момент в сечении z

Рис. 8.61. Прогиб консольного стержня под действием сосредоточенной силы

Из уравнения (239) получаем

или

Наибольший прогиб будет при

2. Прогибы консольного стержня постоянного сечения под действием распределенной нагрузки (рис. 8.62). Решение начинаем с определения изгибающего момента в сечении.

Рис. 8.62. Прогиб консольного стержня под действием распределенной нагрузки; а — расчетная схема; б — эпюра изгибающих моментов

Рис. 8.63. Прогиб двухопорного стержпя (балки) под действием распределенной нагрузки: а — расчетная схема; б — эпюра изгибающих моментов

Равнодействующая сил, приложенных к отсеченной части, равна плечо равнодействующей следовательно,

Из уравнения (239) находим

Прогиб конца стержня

3. Прогиб двухопорного стержня постоянного сечения под действием распределенной нагрузки (рис. 8.63). В опорах стержня возникают реакции

Изгибающий момент в сечении

В рассматриваемом случае условия закрепления таковы:

Из уравнения упругой линии (239) находим

Проводя интегрирование, получим

Из краевого условия при определяем

Производная от функции прогибов в начале координат отрицательна (рис. 8.63).

Подставляя значение уравнение упругой линии, получаем

Наибольший прогиб будет при :

Замечание. В технической литературе стержень, работающий на изгиб, часто называют балкой. Особенно распространено такое наименование в строительной технике, судостроении и в других областях. Так как «стержень» дает описание геометрической формы элемента конструкции, то в дальнейшем он будет иметь преимущественное применение. В старой технической литературе вместо термина «стержень» использовался термин «брус», который сейчас практически вышел из употребления.

Рис. 8.64. Стержень (балка) на двух опорах под действием сосредоточенной силы: а — расчетная схема; б — распределение, изгибающего момента