Уравнения изгибно-крутильных деформаций тонкостенного стержня.

При деформации изгиба сечение стержня получает поступательное смещение вдоль осей х и у (см. рис. 10.14). Деформация кручения приводит к повороту на угол 0 вокруг оси, проходящей через центры жесткости сечения. Связь упругих перемещений центров тяжести (точек оси стержня) и центров жесткости выражается следующими простыми соотношениями:

где — координаты центра жесткости.

Поступательное движение профиля характеризуется упругими перемещениями центра жесткости; остальные точки сечения получают дополнительные смещения в результате поворота.

Параметры изгибной деформации (соотношения (67))

выражаются через вторые производные компоненты смещения центра жесткости. С помощью соотношений (67) находим

Учитывая условия равновесия элемента стержня (см. рис. 10.15)

получаем уравнения изгибных перемещений

Зависимости (89) полностью совпадают с обычными уравнениями изгиба стержня (см. разд. 34), но относятся к смещениям центра жесткости.

Перейдем к рассмотрению крутильных деформаций. Крутящие моменты относительно оси центров жесткости (оси см. рис. 10.14) дают касательные напряжения (точнее, касательные усилия) чистого кручения

и стесненного кручения

Момент касательных усилий поперечного изгиба относительно оси центров жесткости равен нулю.

Из условия равновесия имеем

где — крутящий момент относительно оси

момент внешних сил относительно оси

Дифференцируя равенство (90) по z и учитывая зависимость (91), находим

где, как и раньше, — распределенные нагрузки на единицу длины оси стержня (оси ), — распределенный (на единицу длины) момент относительно оси

Обозначая распределенный момент относительно оси в виде

получим

Уравнение для угла закрутки 0 при действии изгибающих и крутящих нагрузок совпадает с уравнение (40) для стесненного кручения.

Уравнения (89) и (94) описывают изгибные и крутильные деформации тонкостенного стержня. Краевые условия для уравнения (94) аналогичны краевым условиям уравнения (40) и были разобраны ранее (соотношения (48)-(54)).

Поскольку теперь среди внешних нагрузок рассматриваются и нормальные усилия на торцах стержня, то следует указать краевое усилие при действии внешнего бимомента.

Если в сечении z = l известна величина бимомента, то (см. уравнение (71))

Для стержпя с постоянным модулем упругости

Замечание. Для упругих перемещений уравнения (89) и (94) оказались независимыми, но связь между изгибной и крутильной деформациями проникает обычно через краевые условия. Такая связь не возникает, если центры тяжести и жесткости сечений совпадают.

Пример. Крутильные деформации тонкостенного стержня при действии продольных сил.

Рис. 10.19. Действие продольных самоуравновешенных усилий на тонкостенный стержень: а — расчетная схема; б — действие осевых сил на торец стержня; в — определение главной секториальной площади; г — картина деформаций

Пусть на торец стержня двутаврового сечения действуют четыре силы Р, образующие самоуравновешенную систему сил.

Краевые условия при r = 0 имеют вид

А при

где бимомент внешних осевых сил.

Так как касательные усилий на торце отсутствуют, то по условиям (52)

Перейдем к определению секториальных характеристик. На рис. 10.19, в показано определение главной секториальной площади со для двутаврового сечения. Центр жесткости (полюс секториальной площади) совпадает с центром тяжести, так как сечение обладает двумя осями симметрии. Принимая начало отсчета площади в точке получаем для точки А значение со а, равное удвоенной площади треугольника

Знак минус появился потому, что радиус-вектор движется вдоль отрезка по часовой стрелке (более подробно определение секториальных характеристик сечения рассматривается ниже).

Секториальный момент инерции

можно вычислить по правилу Верещагина, умножая эпюру со «саму на себя»:

Значение бимомента в сечении по равенству (70) будет таким:

С помощью решения (46), учитывая равенства , находим

Из краевых условий при получаем

Из последнего условия следует

и тогда

Нормальные напряжения находим из формулы (69):

или

Учитывая значение находим

Напряжения изгиба в точке А при равны

Этот результат может быть получен, если считать, что момент действует на верхнюю полку:

Картина деформаций представлена на рис. 10.19, г. Каждая из полок двутаврового сечения испытывает деформацию изгиба.

Замечание. В корневом сечении нормальные напряжения

Происходит «затухание» напряжений по мере удаления от сечения , что вполне естественно, так как внешняя нагрузка самоуравновешенная. Скорость затухания зависит от величины

Жесткость стержня на кручение

в тогда

При

При малой толщине затухание невелико, и принцип Сен-Венана о быстром затухании действия самоуравновешенной нагрузки в тонкостенных стержнях нарушается.