Динамическая модель лопатки осевого компрессора при изгибных колебаниях.

Резонансные колебания лопаток являются одной из главных причин разрушения компрессоров. Динамическая модель лопатки должна обеспечить отсутствие резонанса при колебаниях по первой форме на максимальных оборотах. Сначала требуется найти частоту изгибных колебаний лопатки. Лопатка осевого компрессора жестко закрепляется в ободе диска замком типа «ласточкин хвост» (рис. 12.10).

Рис. 12.10. Определение частоты изгибных колебаний лопатки компрессора

В качестве динамической модели принимаем консольный стержень переменного сечения. Для построения приближенной модели сечение лопатки можно считать постоянным. Для определения первой частоты изгибных колебаний будем использовать метод интегральных уравнении.

По формуле (61) вычислим

что соответствует первому приближению

Последовательно находим

или

Значение при составляет

Первое приближение для круговой частоты изгибпых колебаний равно

Для дальнейшего уточнения вычисляем

и второе приближение

Для третьего приближения

что совпадает с точным решением.

Величину удобнее вычислить численным интегрированием, разбив длину лопатки на 10—20 участков.

Применим теперь для определения частоты изгибных колебаний формулу Рэлея при

Тогда

Результат первого приближения получился довольно грубым. В рассматриваемом примере (стержень постоянного сечения) точное значение получается с помощью решения (52):

Результат расчета по формуле Рэлея можно улучшить, определяя по формуле (78), что дает

После определения собственной частоты колебания лопатки по первой форме перейдем к определению резонансной частоты вращения для лопатки компрессора. Частота возбуждающих сил в компрессорах, турбинах и других турбомашинах оказывается кратной числу оборотов:

где — число оборотов ротора в секунду; к — целое (положительное) число, характеризующее кратность возбуждения (гармоника).

Если перед лопаткой имеются три стойки опоры, то опасное возбуждение может иметь третью кратность (k = 3). В общем случае в машинах имеются все гармоники возбуждения (k = 1, 2, 3, ...), так как неравномерность газового потока, температуры и т. п. представляется рядом Фурье с достаточно большим числом членов. Условие резонанса для изгибных колебаний лопаток состоит в следующем:

где — частота изгибных колебаний лопатки (в герцах).

Рис. 12.11. Диаграмма возбуждения для определения резонансной частоты вращения для лопатки компрессора (1, 2, 3, 4 — гармоники возбуждения)

Динамическую модель лопатки часто представляют в виде диаграммы возбуждения (рис. 12.11). На рис. 12.11 штриховой полосой обозначены частоты колебаний лопаток в колесе. Они имеют разброс 5—10% в результате технологических отклонений геометрии сечения лопаток (частоты лежат в пределах Гц). Максимальная частота вращения ротора компрессора равна 8000 об/мин. Из диаграммы видно, что при максимальной частоте резонанс отсутствует, что и составляло условие проектирования. Резонансы возможны на меньших частотах; уровень переменных напряжений при резонансных режимах проверяется экспериментально с помощью тензометрирования.

Рис. 12.12. К выводу уравнения продольных колебаний стержня