Определение приведенного центра тяжести сечения криволинейного стержня. Примеры.

Центр кривизны К обычной оси стержня (геометрического места центров тяжести сечений) считаем известным, и требуется определить величину — расстояние от приведенного центра тяжести до центра кривизны.

Из условия (85) находим

где — расстояние от элемента до центра кривизны (известная величина).

Можно установить приближенную формулу для величины

Учитывая, что

— расстояние до главной оси сечения, получим из

равенства (90)

или

Из последнего соотношения находим

где — жесткость сечения на изгиб для прямолинейного стержня.

При постоянном модуле упругости имеем

где — главный момент инерции сечения.

Пример. Рассмотрим стержень с прямоугольным поперечным сечением (рис. 15.15, а). Модуль упругости Е считаем постоянным.

По формуле (91) находим

Смещение деитра тяжести сечения относительно приведенного центра тяжести равно

Учитывая разложение натурального логарифма в ряд, получим

что соответствует формуле (93).

Для круглого сечения (рис. 15.15, б) укажем окончательный результат, опуская промежуточные довольно громоздкие преобразования:

где — диаметр круглого сечения.

Приближенное значение вытекает из соотношения (93).

Рис. 15.15. Криволинейный стержень с прямоугольным (а) и круглым (б) поперечными сечениями

Замечание. Ось х проходит через приведенный центр тяжести, отстоящий на расстояние от центра тяжести сечения; поэтому

так как

как обобщенный статический момент относительно главной оси.