Изгиб прямоугольных пластинок. Деформации.

Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 16.7), отнесенную к системе координат х, у, z. Элемент поверхности после деформации показан на рис. 16.8; точка до деформации лежит в срединной плоскости, после деформации она получает смещения . Точка отстоящая на расстояние z от точки после деформации переходит в точку А. Угол поворота «жесткости нормали» (гипотеза Кирхгофа) имеет составляющие в координатных плоскостях.

Перемещения произвольной точки пластинки (точка А) равны

где — смещения точки лежащей в срединной плоскости.

Деформацией в направлении нормали пренебрегаем. В соответствии с формулами для деформаций имеем

где

— деформации в срединной плоскости пластинки.

Рис. 16.7. Изгиб прямоугольной пластинки

Рис. 16.8. Деформации изгиба прямоугольной пластинки

Учитывая, что

получим следующие зависимости:

Уравнение упругости.

Предполагается, что напряженное состоя ние является плоским. Пренебрегая для простоты температурной деформацией, будем иметь

Внося в (55) равенства (54), получим

где — нормальные и касательное напряжения в срединной плоскости пластинки. Они определяются по равенствам (55) для значений .

Силовые факторы в сечениях прямоугольной пластинки.

Рис. 16.9. Силовые факторы в сечении пластинок

В слое (рис. 16.9) действуют нормальные и касательное напряжения, которые создают усилия и моменты (на единицу длины):

Подставляя значения из формул (56), найдем для усилий в срединной плоскости

Для изгибающих и крутящих моментов получим

где

Величина D пазывается жесткостью (единицы длины) пластинки. Замечание. Отметим очевидное свойство парности касательных напряжений:

и вытекающие из пего условия для касательных усилий и крутящих моментов:

Условия равновесия элемента прямоугольной пластинки.

На рис. 16.9 показаны усилия и моменты, действующие на грани элемента пластинки.

Рассматривая равновесие сил по осям х и у приходим к следующим уравнениям:

Условие равновесия сил по оси z дает

Условие равновесия для моментов приводит к двум уравнениям:

Пять условий равновесия (62)-(66) характеризуют равновесие элемента пластинки.

Замечание. Шестое уравнение равновесия относительно оси z приводит к уже известному результату

Разрешающие уравнения.

Ранее были рассмотрены три группы уравнений: геометрические уравнения (51) —(54), описывающие геометрию деформации пластинки; физические уравнения (55), (56), устанавливающие связь деформаций и напряжений; статические уравнения равновесия (62) — (66).

Первая группа параметров: — характеризует усилия и деформации в плоскости пластинки. Уравнения равновесия будут удовлетворены, если положить

Используя уравнение совместности деформаций

приходим к бигармоническому уравнению для функции усилий F. Легко заметить, что для определения усилий в плоскости пластинки получается плоская задача, разобранная в гл. 2.

Усилия, напряжения и деформации в плоскости пластинки определяются независимо от деформации изгиба.

Вторая группа параметров: - характеризует изгиб пластинки.

Разрешающее уравнение (уравнение, решение которого позволяет определить неизвестные параметры задачи) получается следующим образом. Дифференцируя уравнение (65) по х, уравнение (66) по у, затем складывая их, получим с учетом соотношения (64)

С помощью зависимостей (58) — (60) находим для пластинок постоянной толщины

Это и есть разрешающее уравнение изгиба пластинки постоянной толщины. В более краткой форме оно записывается так;

где

— бигармонический оператор.