Распределение касательных напряжений в стержне постоянного сечения.

Если модуль упругости постоянен по сечению стержня, то усилие, приложенное к части сечения, определяется по равенству (90). Теперь из соотношений (90) и (97) получаем

Так как сечения стержня по длине одинаковы, то от z зависит лишь величина и

где по соотношению (82)

Важная для дальнейшего формула (99) называется формулой Журавского, по имени выдающегося русского инженера — специалиста в области мостостроения.

Покажем, что перерезывающая сила в сечении является равней действующей касательных напряжений.

Интегрируя равенство (99) по у, находим

(с помощью интегрирования по частям устанавливаем

Для стержня с переменным модулем упругости

Примеры. Рассмотрим распределение касательных напряжений в стержне прямоугольного сечения (рис. 8.31). Статический момент отсеченной части

Перерезывающая сила в сечении стержня в соответствии с принятым правилом знаков

Учитывая значение момента ннердии сечения

по формуле (99) находим

Знак минус означает, что касательные напряжения направляем противоположно положительному вектору поперечного усилия Q (см. рис. 8.31).

Рис. 8.31. Распределение касательных напряжений в стержне прямоугольного сечения

Максимальное касательное напряжение (по величине) получается в точках оси и равно

где - среднее касательное напряжение.

Рассмотрим теперь распределение касательных напряжений в стержне круглого сечения (рис. 8.32).

Статический момент отсеченной части

После замены переменных

получаем

По формуле (99) находим при

следующую зависимость для касательного напряжения:

Максимальное касательное напряжение будет при у = 0:

где — среднее касательное напряжение. Распределение касательных напряжений вдоль оси у показано на рис. 8.32.

Рис. 8.32. Распределение касательных напряжений в стержне круглого 4 сечения

Замечание. В рассматриваемом примере допущение о том, что касательные напряжения параллельны оси у, строго не выполняется. В крайних точках (точки D и ) вектор касательного напряжения должен быть направлен по касательной к контуру в силу свойства парности касательных напряжений (иначе должно действовать на свободной боковой поверхности стержня касательное напряжение!). Поэтому допущение о постоянстве касательных напряжений по прямой можно заменить более общим условием: постоянство составляющих касательных напряжений вдоль оси у. Более строго следовало бы назвать величину по формуле Журавского осредненным значением касательного напряжения по прямой, параллельной оси х.