Силы, действующие на вращающийся диск при прогибах вала.

В предыдущем изложении диски представлялись точечными массами. Рассмотрим теперь силы, приложенные к диску, при вращении относительно оси z (рис. 12.19). Ось диска (ось ) составляет угол с направлением оси вращения; прогиб вала в месте крепления диска и одновременно смещение центра тяжести диска (точки ). На элемент массы диска в точке А действует центробежная сила

(125)

где — расстояние от точки А до оси вращения. Центробежная сила может быть разложена на две составляющие (см. рис. 12.19). Усилия вследствие симметрии образуют взаимно уравновешенную систему сил и для дальнейшего не существенны. Сила

Величина представляет проекцию радиуса на ось у (см. рис. 12.19).

Приведем центробежные силы элементов диска к равнодействующим силе и моменту, приложенным в центре тяжести диска. Тогда

где интеграл распространяется на весь объем диска V; — масса элемента диска.

Так как величины v (смещение центра тяжести) и (угол поворота плоскости диска) одинаковы для всех точек диска, то

Интеграл

как статический момент отпосительпо прямой, проходящей через центр тяжести диска.

Рис. 12.19. Силы, действующие на вращающийся диск

Из равенства (128) получаем важный результат:

Равнодействующая центробежных сил такова, как если бы вся масса диска была сосредоточена в его центре тяжести. Но центробежные силы создают момент

или

Первый интеграл в правой части равенства (130) обращается в нуль, как статический момент, и тогда

где — осевой момент инерции массы диска.

Для тонких дисков

где — полярный момент инерции массы диска.

Рис. 12.20. Определение полярного момента инерции массы диска

Например, для диска постоянной толщины и радиусом R (рис. 12.20)

где — масса диска.

Так как рассматриваются малые прогибы вала, то следует принять

Угол поворота плоскости диска

где - прогиб вала. Из равенства (131) получаем важную формулу

Если при прогибах вала плоскость диска отклоняется от первоначального положения, то на диск действует момент, препятствующий повороту плоскости диска. Такой момент называется гироскопическим, так как впервые был изучен в связи с движением гироскопов (простейший пример гироскопа — «волчок»; гироскопы — важнейшие приборы для управления самолетами и ракетами). Гироскопический момент пропорционален углу поворота плоскости диска.

Замечание. Рассматриваемое движение вала и диска (диск неподвижен относительно плоскости, содержащей изогнутую ось вала) называется прямой синхронной прецессией. Возможны и другие, более сложные движения вала, напоминающие движения гибкого валика в изогнутой и вращающейся трубчатой обойме. Такого рода движения (несинхронные прецессии) на практике встречаются очень редко и в дальнейшем не рассматриваются.