Вариационное уравнение изгиба стержня.

Применим общее вариационное уравнение (79) к плоскому изгибу стержня переменного сечения (рис. 9.11).

Стержень подвергается действию распределенной нагрузки усилия Р и момента М.

Рис. 9.11. Вывод вариационного уравнения изгиба стержня

Потенциальная энергия деформации стержня

В равенстве представляет прогиб оси стержня. Возможная работа внешних сил

Полная потенциальная энергия системы П

Вариационное уравнение изгиба стержня

Можно считать

где Далее находим

Пользуясь формулой (63), полагая , получим

Вариационное уравнение изгиба стержня (82) можно записать в такой форме:

так как при (заделка).

Уравнение (87) должно быть справедливо для произвольной вариации, и потому оно эквивалентно уравнению

и краевым условиям при

(89)

Уравнение (88) является дифференциальным уравнением изгиба стержня, условия (89), (90) — силовые краевые условия при . Краевые условия при должны выполняться для функции по построению

Таким образом, вариационное уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению и краевым условиям.

Рис. 9.12. Применение метода Рэлея—Ритца к задаче изгиба стержня