22. Статически неопределимые задачи растяжения и сжатия стержней

Понятие статической неопределимости.

Рассмотрим задачу, показанную на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Стержень, жестко заделанный в неподвижной плоскости: а — статически неопределимая система; б — эквивалентная статически определимая система; в — распределение усилий; г — распределение напряжений

На стержень, оба конца которого приварены к двум недеформирующимся и неподвижным плитам, действует усилие Р. Требуется найти распределение усилий и напряжений в стержне.

Система, показанная на рис. 6.10, а, статически неопределима в том смысле, что усилие в произвольном сечении z неизвестно и из уравнений статики не может быть определено. Метод сечений (например, сечение стержня плоскостью не приводит к результату, так как неизвестны усилия, приложенные к отсеченной части.

Задачи сопротивлеия материалов, в которых уравнений статики недостаточно для определения усилий в стержнях, называются статически неопределимыми.

Один из общих методов решения статически неопределимых задач.

Метод заключается в последовательном проведении двух процедур.

1. Система освобождения от лишних связей, взамен, которых прикладываются неизвестные силовые факторы, т. е. система превращается в статически определимую (формально).

2. Составляются уравнения, дополнительные к статическим, учитывающие действительные условия деформирования элементов системы.

В задаче, показанной на рис. 6.10, на первом этапе отсекаем одну из заделок стержня, например верхнюю, заменяем ее действие неизвестным усилием X. Полученная система (рис. 6.10, б) является статически определимой.

Второй этап решения состоит в учете уравнения

что выражает невозможность перемещения точки В в статически неопределимой системе (рис. 6.10, а).

Перемещение точки В равно

так как на первом участке постоянная деформация

а на втором участке

В последних равенствах — площади поперечного сечения и модули упругости участков. Из уравнения (25) получаем

где — коэффициенты податливости, мм/Н. Величины называются жесткостями сечений стержня на растяжение.

На первом участке действует растягивающее усилие

на втором участке — усилие

(31)

Усилие, растягивающее стержень, будем считать положительным, сжимающее — отрицательным (в соответствии с правилом знаком для нормальных напряжений). Распределение усилий и напряжений по длине стержня показано на рис. 6.10, в и 6.10, а.

Величина X по формуле (29) получилась положительной. Это означает, что предварительно выбранное направление неизвестного усилия X (рис. 6.10, б) оказалось правильным. Можно было, предварительно принять усилие X направленным в другую сторону. Легко проверить, что это не повлияло бы на решение.

Замечание. Рассмотренный метод является общим, применимым для любых статически неопределимых систем. Он называется методом сил, так как в качестве неизвестных принимаются усилия. Однако метод отнюдь не является единственным. Существуют и другие, достаточно общие методы, например метод перемещений, которые в некоторых случаях приводят к более простым расчетным схемам.