Уравнения равновесия элемента цилиндра.

На рис. 14.4, а представлены элемент цилиндра и действующие да него усилия. По граням элемента приложены напряжения: от, зависящие от радиуса ; по и z напряжения постоянны. К элементу цилиндра может быть приложена распределенная массовая сила (на единицу массы), которая при вращении цилиндра равна

где — угловая частота вращения.

Окружное напряжение одинаково на двух противоположных гранях, составляющих угол так как оно не зависит от угла .

Постоянным на гранях элемента оказывается и напряжение так как напряжения не изменяются по координате z. Разными будут радиальные напряжения в силу возрастания радиуса соответствующих граней (). Рассмотрим равновесие сил в радиальном направлении.

Рис. 14.4. Услввия равновесия элемента цилиндра

На рис. 14.4, б показана проекция элемента на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра (оси z). Проектируя все силы на ось , проходящую через центр тяжести элемента, получаем

где — плотность материала.

В уравнении (5) учитывается, что усилия на боковых гранях дают составляющие на направление (рис. 14.4, б).

Полагая, что

и пренебрегая величинами высшего порядка, получим

Так как , то

Уравнение (6) представляет условие равновесия для элемента цилиндра. Два других условия (проекций на направление, перпендикулярное , и на ось z) выполняются по условиям задачи.

Уравнения упругости.

Рассматривая изотропное упругое тело, будем иметь следующие соотношения упругости (разд. 18):

В дальнейшем потребуется выразить напряжение через деформации.

В рассматриваемой задаче, учитывая условие (3), удобно исключить величину из соотношений (7) и (8) с помощью равенства (9):

Подставляя последнее соотношение в уравнения (7) и (8), представим их так:

где параметры упругости для плоской деформации имеют вид

и коэффициент линейного расширения равен

Из уравнений (11) и (12) легко находим

В тех случаях, когда напряжение в цилиндре отсутствует, соотношения (7) и (8) приводят к более простым зависимостям:

которые также будут использованы в дальнейшем.

Основное дифференциальное уравнение.

Это уравнение составляем относительно радиального перемещения .

Если воспользоваться уравнением равновесия (6)

и внести значения из соотношений (15) и (16), то, учитывая формулы (1) и (2), получим

Уравнение (20) представляет неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции

Если параметры упругости Е и постоянны вдоль радиуса, то из уравнения (20) находим

где функция

С помощью небольших преобразований уравнение (21) можно представить в более удобном для последующего интегрирования виде: