Дифференциальное уравнение для диска постоянной толшины с постоянными параметрами упругости.

Для диска постоянной толщины уравнение равновесия (83) будет таким:

Из соотношений упругости (88) и (89) при отсутствии дополнительных напряжений находим

Внося зависимости (96) и (97) в уравнение (95), получим

где

Уравнение (98) совпадает с уравнением для цилиндра (соотношение (21)), если значения заменить на .

Замечание. Полученный результат не является случайным, так как задачи об осесимметричном напряженном состоянии цилиндра (плоская деформация) и диска (плоское напряженное состояние) являются вариантами одной и той же плоской задачи.

Напряжения в диске постоянной толщины.

Как было показано ранее (разд. 47), общий интеграл уравнения (98) можно записать так:

Учитывая равенство (99), находим

Подставляя (101) в равенство (100) и включая постоянные величины, относящиеся к в произвольные постоянные, получим

где — новые значения произвольных постоянных, что для дальнейшего несущественно. Дифференцируя равенство (102), находим

Внося значения в соотношения упругости, будем иметь

где

Из краевых условий для радиальных напряжений

находим значения произвольных постоянных:

Если теперь подставить значения в равенства (104) и (105), получим следующие важные формулы:

где напряжения от центробежных сил равны

Температурные напряжения составляют

где определяется соотношением (106).

Первые группы членов в равенствах (109) и (110) дают напряжения от контурных нагрузок. Сопоставление с формулами (36) и (37) показывает, что напряжения от контурных нагрузок в диске постоянной толщины и цилиндре одинаковы. При сравнении температурных напряжений следует учесть различие в зависимостях (65) и (106) . Тогда приходим к выводу, что при одинаковом распределении температурной деформации вдоль радиуса в цилиндре температурные напряжения в раз больше, чем в диске; кроме того, в цилиндре имеются температурные напряжения которые в диске отсутствуют.

Перемещения в диске находятся из соотношения

где значения определяются из формул (109) и (110).

Рассмотрим теперь диск без центрального отверстия (сплошной диск). В центре диска содержится особая точка, в которой в силу осевой симметрии

Дифференциальное уравнение (102) остается справедливым, но в его решении (100) следует считать как иначе в центре диска перемещение не обращается в нуль.

Решение уравнения (98) следует принять таким:

Несмотря на наличие множителя второй член равен нулю при . Учитывая значение получим

Продолжая выкладки, найдем напряжения в сплошном диске:

где

В центре сплошного диска

так как