55. Основные уравнения метода конечных элементов

Аппроксимация перемещений внутри элемента.

Ограничимся рассмотрением плоской задачи (например, растяжение листа с отверстием и т. п.).

Рис. 17.4. Конечный элемент при решении плоской задачи

Область тела разбивается на малые, но конечные элементы, в частности треугольного типа (рис. 17.4). Упругие перемещения в пределах n-го элемента будем считать линейными функциями координат

Неизвестные параметры выразим через смещения узлов.

Применяя равенство (11) для узлов , получаем

В матричной форме имеем

Определяя из этого уравнения представим равенство (11) в таком виде:

коэффициенты равны

Остальные коэффициенты получаются из равенств (16) с помощью круговой перестановки индексов . Например, и т. д. Для смещений вдоль оси у будем иметь

Формула для v аналогична (15):

Равенства (15) и (18) выражают смещения точек треугольного конечного элемента через смещения его вершин (узлов).

В матричной форме уравнения (15) и (18) представим так:

где матрицы

и векторы смещений узлов

По физическому смыслу матрица формы выражает перемещения точек элемента в случае, когда компоненты смещения узла равны единице а смещения других узлов отсутствуют В соотношении (19) вектор-строка и вектор-столбец имеют блочную структуру; в более компактной форме зависимость (19) можно записать следующим образом:

где

В равенстве (22) и в некоторых случаях в дальнейшем указаны числа строк и столбцов в блоках (верхние цифры) и числа строк и столбцов в самой матрице или векторе (нижние цифры).

Замечание. Главное преимущество при разбиении матрицы на блоки состоит в следующем: в дальнейшем блоки могут рассматриваться как обычные элементы матрицы. При умножении матриц (вектор также рассматривается как матрица) «внутренние» числа, указывающие размерности матриц и их блоков (попарно одинаковые), пропадают! Например, в равенстве (22) такими числами являются 3 в нижней строке и 2 в верхней. Крайние числа показывают числа строк и столбцов в той матрице и ее блоках, которые получаются в результате перемножения.

Деформации и напряжения внутри элемента.

В плоской задаче связь деформаций и перемещений в n-м элементе устанавливается известными соотношениями (см. разд. 9):

Запишем эти равенства в векторной форме:

где вектор деформаций в n-м элементе

и матрица дифференцирования

Если учесть соотношение (22), то

где матрица

Получим теперь равенство (29) непосредственно из соотношений (15) и (18). Дифференцируя, находим

В матричной форме имеем

причем матрица

В дальнейшем матрицу удобно представить в блочной форме:

Каждый блок матрицы относится к определенному узлу.

Соотношения упругости для плоской задачи:

или

Последние уравнения представим в матричной форме:

где матрица

Вектор температурной деформации

Учитывая формулу (28), получим

в последнем равенстве снова указана блочная структура матриц, приспособленная к принятой структуре матрицы .