31. Условия равновесия элемента стержня и касательные напряжения изгиба

Вводные замечания.

Изгиб стержня часто происходит при действии сосредоточенных или распределенных, нагрузок, перпендикулярных оси стержня (рис. 8.25).

Рис. 8.25. Примеры изгиба стержней (балок) под действием поперечной нагрузки

В сечении стержня будут действовать не только изгибающие моменты, но и перерезывающие усилия. Эти усилия создают в поперечном сечении касательные напряжения.

Рассмотрим сначала условия равновесия элемента стержня.

Условия равновесия элемента стержня.

Пусть в сечении (рис. 8.26) действуют изгибающий момент и перерезывающая сила . В простейших случаях, когда это не может вызвать недоразумений, индексы моментов и сил будем для краткости опускать. Направление силовых факторов предполагается положительным.

На стержень действует распределенная нагрузка размервость — (например, Н/м).

Так как силовые факторы изменяются по длине стержня, то в сечении действуют и момент

Рассмотрим равновесие элемента стержня, выделенного двумя поперечными сечениями; размер элемента вдоль оси стержня равен dz.

Проектируя все силы на вертикальное направление, находим

Составим сумму моментов относительно оси х, лежащей в сечении z + dz:

Отбрасывая как бесконечно малую второго порядка, получим

Производная изгибающего момента равна перерезывающей силе. Уравнения (81) и (82) образуют условия равновесия элемента стержня при изгибе.

Рис. 8.26. Условия равновесия элемента стержня

Замечание. Полученные условия равновесия справедливы для стержня постоянного или переменного сечений; при любых свойствах материала стержня они являются прямым следствием состояния равновесия.

При движении с ускорением элемента стержня к распределенным усилиям следует добавить по принципу Даламбера инерционные усилия.