Главные площадки при плоском напряженном состоянии.

Главными площадками называются площадки, в которых отсутствуют касательные напряжения; нормальные напряжения в таких площадках называются главными напряжениями.

При плоском напряженном состоянии одну из главных площадок в точке тела можно указать сразу — это площадка, нормаль к которой направлена по оси z (см. рис. 2.12) (площадка, лежащая на свободной торцевой поверхности). В такой площадке отсутствуют и касательное, и нормальное напряжения (главное напряжение равно нулю). Найдем главные площадки в точке А среди серии площадок, перпендикулярных основной плоскости.

Как уже указывалось, грани треугольного элемента на рис. 2.14 как раз представляют такие площадки.

Из условия получим с помощью соотношения (19)

где — угол, который составляет нормаль v главной площадки с осью х.

Так как — периодическая функция с периодом я, то уравнению (20) будут удовлетворять углы

Таким образом,

Из рис. 2.17 видно, что существуют всего два взаимно перпендикулярных направления, которые составляют с осью х углы . Эти направления называются главными.

Проведенный анализ показывает: среди рассматриваемых площадок (нормали к площадкам лежали в плоскости действия напряжений ) имеются две главные площадки; касательные напряжения в таких площадках отсутствуют. Если учесть еще главную площадку, перпендикулярную оси z, то имеются всего три главные площадки (рис. 2.18).

Рис. 2.17. Главные направления плоском напряженном состоянии

Рис. 2.18. Главные площадки при плоском напряженном состоянии

Нормальные напряжения в главных площадках (главные напряжения) обозначаются . При плоском напряженном состоянии

В дальнейшем будет показано, что в любой точке тела при действии произвольной системы внешних сил в общем случае имеются всего три главные площадки, или, что то же самое, три взаимно перпендикулярных главных направления.

Замечание. При анализе уравнения (20) исключался из рассмотрения случай, когда

Такое напряженное состояние создается в пластине, равномерно растягиваемой одинаковыми усилиями в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

При условии (22) из уравнения (19) вытекает, что в любой косой площадке касательные напряжения отсутствуют в главных площадок бесчисленное множество. Поэтому более строгое утверждение таково: или существуют три главные площадки, или (в отдельных частных случаях) их может быть бесчисленно много.

Случай, когда главных направлений бесконечно много, встречается, конечно, редко (например, всестороннее сжатие или растяжение) и не содержит каких-либо трудностей для анализа напряженного состояния. Важно, что не может быть одного, двух, четырех, пяти и т. п. главных направлений: их или три, или бесконечно много.