41. Осесимметричная деформация колец

Во многих конструкциях встречаются кольца, работающие при осесимметричном нагружении (рис. 11.6, а). Пусть на кольцо (рис. 11.6, б) действуют осевые и равномерно распределенные радиальные нагрузки: .

Центр тяжести поперечного сечения кольца расположен на окружности радиусом ; ось х направлена в радиальном направлении. Рассмотрим равновесие половины кольца (рис. 11.7).

Осевое усилие из условия равновесия равно

где — радиус окружности, по которой равномерно распределены усилия [сила/длина] (рис. 11.6, б).

Рис. 11.6. а — осесимметричная деформация колец; б — нагрузки, приложенные к кольцу

Рис. 11.7. Определение силовых факторов в сечении кольца

Изгибающие моменты относительно оси х составляют

(14)

где — эксцентриситет приложения радиального усилия .

Первые два слагаемых правой части уравнения (14) в пояснениях не нуждаются; последнее слагаемое получается в результате проектирования момента, распределенного на дуге на ось После интегрирования находим:

Осесимметричное нагружение приводит к появлению в поперечном сечении кольца осевого усилия и изгибающего момента.

Рассмотрим теперь деформации кольца. В приближенном решении будем пренебрегать деформацией сечения в своей плоскости, считая, что кольца состоит из жестких шайб, связанных кольцевыми упругими нитями. В результате деформации центр тяжести кольца смещается на , а сечение поворачивается на угол (рис. 11.8). Смещение точки А в радиальном направлении

Деформация в кольцевом направлении

где - радиус окружности, проходящей через точку А. Размеры сечения кольца будем считать малыми по сравнению с радиусом окружности центров тяжести

и тогда

Предполагая напряженное состояние одноосным, получим в пределах упругих деформаций окружное напряжение (рис. 11.9)

где — температурная деформация ( — коэффициент линейного расширения, Т — температура).

Из условия равновесия следует, что

Рис. 11.8. Сечение кольца после деформации

Рис. 11.9. Напряжения в поперечном сечении кольца

Подставляя в уравнения (21) и (22) величину о из соотношения (20), получим при Е = const

так

(ось x проходит через центр тяжести сечения) Из уравнений (23) и (24) находим

Подставляя эти значения в равенство (20), получаем формулу для напряжений в кольце

Первая группа членов представляет напряжение в кольце от внешних сил, вторая — температурные напряжения.

Пример 1. Определить напряжение в элементах кольцевой пружины при действии осевой нагрузки (рис. 11.10). Распределенные усилия и осевая сила Р связаны соотношением

Изгибающий момент в сечении кольца находим по формуле (15):

Напряжения в элементах кольцевой пружины будут такими:

Наибольшие напряжения при

Рис. 11.10. Кольцевая пружина

Растягивающие напряжения действуют при сжимающие — при . Осадка кольца пружины

Угол поворота кольца

Осадка всей пружины

Для расчетного анализа и выбора размеров удобно использовать связь между осадкой пружины и максимальными напряжениями (формулы (31) и (32)):

Для увеличения осадки пружины (при одинаковом уровне напряжений) надо увеличивать число колец z, уменьшить толщину кольца h.

Замечание. При сильном уменьшении толщины кольца приближенное решение может оказаться не справедливым, так как предположение о жестком поперечном сечении кольца будет приводить к погрешностям. В таких случаях кольца следует рассчитывать по теории пластинок.

Рис. 11.11. Кольцо под действием радиальной нагрузки

Рис. 11.12. Различные случаи закрепления кольца

Пример 2. Определить напряжения и перемещения в кольце прямоугольного сечения под действием радиальной нагрузки (рис. 11.11).

Силовые факторы в поперечном сечении кольца равны

Напряжения в кольце находим по формуле (28):

Радиальное смещение центра тяжести сечения кольца

Угол поворота поперечного сечения

Замечание о пределах применимости приближенного решения.

Рассмотрим два различных случая закрепления кольца (рис. 11.12). В первом случае (рис. 11.12, а) кольцо приварено к массивной детали. Применение приближенного решения неоправдано — сечение кольца должно деформироваться. В этом случае окружными (кольцевыми) напряжениями можно пренебречь и расслматривать кольцо как ряд независимо изгибающихся стерженьков единичной толщины с высотой сечения h. Во втором случае (11.12, б) кольцо получает угол поворота; основные напряжения — окружные. В общем случае для расчета осесимметричной деформации колец используется теория круглых пластин.