Система уравнений для определения нормальных напряжений изгиба и растяжения стержня и ее упрощение.

Эта система получается путем подстановки значения о из соотношения (5) в уравнения равновесия (6)—(8). Для общности будем считать, что модуль упругости Е и температура Т не одинаковы в различных точках сечения.

Внося (5) в равенства (6)—(8), получим следующую систему уравнений, записанную в матричной форме:

где

Рис. 8.5. Общие условия равновесия при изгибе стержня

Симметричная матрица (3 X 3) коэффициентов жесткости имеет следующие элементы:

Основное уравнение гипотезы плоских сечений (уравнение (1)) справедливо для произвольных осей х, у.

Покажем, что с помощью рационального выбора осей координат можно существенно упростить матрицу жесткости приведя ее к диагональному виду. Выберем начало координат в приведенном центре тяжести сечения.

Рис. 8.6. Главные оси сечення

Если представить себе сечение как очень тонкую пластинку с равномерно распределенной массой, то центр тяжести сечения, как известно из теоретической механики, характеризуется тем, что статические моменты относительно любой проходящей через него оси обращаются в нуль:

Для приведенного центра тяжести

При определении обычного центра тяжести все элементы обладают одинаковой массой. При нахождении приведенного центра тяжести элементу приписывается масса, пропорциональная модулю упругости Е. Для стержня с постоянным модулем упругости (Е = const) приведенный центр тяжести совпадает с обычным. В следующем разделе будут указаны способы нахождения центров тяжести поперечных сечений стержня: При условии (12) обращаются в нуль элементы матрицы жесткости. Начало координат еще не полностью определяет положение всей системы. На рис. 8.6 показаны две центральные сиетемы координат, т. е. системы, имеющие начало в центре тяжести или в приведенном центре тяжести сечения.

Положение системы х, у будем характеризовать углом а, на который она повернута относительно заранее выбранной системы координат . Угол принят таким, чтобы

Последнее условие вместе с условиями (12) определяет главную систему координат, оси которой называются главными осями сечения. В следующем разделе будут даны способы нахождения главных осей сечения.

При условии (13)

Итак, если оси х, у являются главными центральными осями сечения, то матрица жесткости становится диагональной, т. е. отличные от нуля элементы расположены на главной диагонали; тогда получаем

В правых частях равенств (14) —(16) первое слагаемое выражает действие внешних усилий, второе — влияние изменения температуры.

Замечание. Задачу изгиба и растяжения стержня можно решать, конечно, в произвольной системе координат, но тогда простых соотношений (14)—(16) не получается.

В общем случае из системы (9) вытекает, что

где — матрица, обратная матрице жесткости .

Если оси х, у являются главными осями, то матрица жесткости и обратная матрица имеют вид

Гипотеза плоских сечений и, следовательно, соотношения (14) — (16), полученные на основании гипотезы плоских сечений, справедливы и для стержней переменного сечения, если сечения достаточно «плавно» изменяются по длине стержня. В местах резкого (ступенчатого) изменения сечений может возникнуть концентрация напряжений, которая рассматривается в дальнейшем.