Стержни из нелинейного или разномодульного материала.

Зависимость напряжение — деформация для нелинейного материала показана на рис. 8.48, а. Она может быть неодинаковой в области растяжения и сжатия, так как ряд материалов (композиционные и пористые материалы, чугуны и т. п.) имеют различные свойства в указанных областях.

Рис. 8.48. Зависимости для нелинейного (а) и разномодульного (б) материалов

Пористые материалы лучше сопротивляются напряжениям сжатия, армированные материалы с мягким наполнением — растяжению. Частный случай нелинейного материала составляет билинейный или разномодульный материал, обладающий разными модулями упругости в области растяжения и сжатия. Задачи растяжения и изгиба стержней из нелинейного или разномодульного материалов решаются методом переменных параметров упругости.

В первом приближении применяется постоянный модуль упругости одинаковый для растяжения и сжатия. Напряжения не зависят от величины выбранного модуля и определяются по формуле (18). Далее в каждой точке сечения находятся значения деформации

и затем (см. рис. 8.48) значения модуля упругости в зависимости от значения и знака . Выбор первоначального модуля упругости не имеет существенного значения: процесс сходится при произвольном значении Можно принять

где — модули упругости при растяжении и сжатии. Процедура заканчивается при выполнении условий (147) и (148).

Рис. 8.49. Изгиб стержня из разномодульного материала

В простых случаях можно получить решение в замкнутой форме. Рассмотрим изгиб стержня прямоугольного сечения из разномодульного материала (рис. 8.49, а).

Для такого материала

Направим ось х вдоль нейтральной линии; тогда деформация выражается следующим равенством:

Так как в сечении суммарное усилие равно нулю, то

что дает

Из условия равновесия

получаем

(152)

Наибольшие напряжения растяжения и сжатия (рис. 8.49, б) равны

Жесткость стержня на изгиб

Учитывая, что

найдем из равенства (153) приведенный модуль упругости:

Замечание. Величина называется модулем Кармана по имени ученого, впервые получившего решение рассматриваемой задачи в связи с проблемой устойчивости стержней.