Геометрические характеристики сечения стержня.

Рассмотрим сначала наиболее часто встречающийся случай однородного стержня, когда все точки сечения имеют одинаковый модуль упругости ). В этом случае сопротивление стержня изгибу и растяжению зависит от геометрических характеристик сечения (моментов инерции относительно главных осей и т. д.), В ближайших разделах рассматривается круг вопросов, связанных с определением геометрических свойств сечений. Затем полученные результаты легко распространяются на определение упруго-геометрических характеристик сечения.

В рассматриваемом случае (Е = const) требуется найти оси х, у, проходящие через центр тяжести сечения и удовлетворяющие условию

Пусть имеются произвольные центральные оси х, у (рис. 8.13); начало координат расположено в центре тяжести сечения.

Осевым, или экваториальным, моментом инерции относительно оси называется интеграл

По определению момент инерции — величина положительная; размерность (обычно в или ).

Для оси осевой момент

В расчетных соотношениях часто встречается величина

(44)

которая называется центробежным моментом инерции сечения относительно системы координат . Несколько странное название момента связано с тем, что он ранее встречался в механике при учете момента центробежных сил.

Отметим еще полярный момент инерции сечения

где — расстояние от элемента площади до центра тяжести сечения (см. рис. 8.13).

Рис. 8.13. Определение центральных моментов инерции сечения

Очевидно, что

Полярный момент инерции сечения рассматривался ранее в задачах кручения круглых стержней (валов).

Для главных осей сечения центробежный момент инерции равен нулю:

Напомним, что оси имеют произвольное, заранее выбранное направление. Пусть главные оси х, у повернуты на угол а по отношению к осям . Прежде всего нам понадобится известная из математики формула для координат точки в новой, повернутой системе координат. Проектируя отрезок ОА (рис. 8.14) на ось х и рассматривая его как сумму векторов получим

Подобным образом

Замечание. Формулы (48) и (49) часто встречаются в различных технических задачах, и их вывод надо обязательно усвоить и повторить самостоятельно!

Рис. 8.14. Изменение координат точки А при повороте системы координат

Угол поворота главных осей найдем из равенства (41) после учета соотношений (48) и (49);

или

Из последнего равенства получаем важную зависимость

где — значение угла , удовлетворяющее условию (50). Полученная формула определяет углы, на которые должна быть повернута система координат у по отношению к системе координат Так как тангенс угла — функция периодическая с периодом то уравнение (51) справедливо и при углах

или

Различные положения системы координат показаны на рис. 8.15. Однако все они соответствуют одним и тем же главным направлениям 1 и 2. В связи с этим условимся об определенном выборе угла , характеризующего положение главных осей.

Для положительных значений имеем и будем считать . Для отрицательных значений получим .

Таким образом, достаточно рассматривать поворот главной системы координат в пределах

Положение главных осей х, у относительно вспомогательных показано на рис. 8.16. Во многих случаях главные оси сечения могут быть названы без предварительного расчета.

Рис. 8.15. Различные положения системы координат, соответствующие одним и тем же главным направлениям 1 и 2

Например, если какая-либо ось является осью симметрии сечения, то она и любая ей перпендикулярная образуют главные оси сечения (рис. 8.17). В самом деле, элементу площади всегда соответствует «нормальный» элемент, у которого изменился знак одной из координат, и поэтому для указанных на рис. 8.17 осей

Замечание. Сколько главных (центральных) осей имеет сечение? Только две (оси х, у) или бесчисленное множество. Последний случай встречается не так часто; к нему относятся сечения, имеющие бесконечно много осей симметрии (например, круглые), или сечения с полной циклической симметрией (например, квадратные).