Решение уравнения стесненного кручения тонкостенных стержней и краевые условия.

Рассмотрим решение уравнения (40) для стержня с постоянными параметрами. Предполагая частные решения однородного уравнения в виде

найдем характеристическое уравнение

Корни которого

Решение уравнения (40) можно записать так:

где - произвольные постоянные, — частное решение неоднородного уравнения.

Более удобно представить решение с помощью нормальных фундаментальных функций:

где

Частное решение, имеет вид

В равенстве (44) величины представляют собой начальные параметры. При отсутствии распределенной нагрузки

Для практического использования решение (44) вместе с производными фуйкции целесообразно записать в матричной форме:

где

— фундаментальная матрица;

В решении (46) предполагается, что распределенные моменты отсутствуют.

Рассмотрим теперь краевые условия.

Жесткая заделка торца стержня (рис. 10.12, а). В этом случае

Последнее, соотношение справедливо в силу равенства (И), так. как осевое смещение во всех точках заделанного сечения.

Рис. 10.12. Краевые условия при стесненном кручении: а — жесткая заделка; б — свободный торец; в — скользящая заделка

Из условия (49) вытекает важный вывод: в жесткой заделке касательные напряжения чистого кручения отсутствуют (см. равенство (1)); крутящий момент передается касательными напряжениями стесненного кручения.

Торец стержня свободен. Предполагается, что на торце стержня (рис. 10.12, б) нормальные напряжения отсутствуют. Из формулы (24) получаем

Крутящий момент на торце стержня является заданным, и в силу соотношения (36)

Если крутящий момент на торце отсутствует, то

Торец стержня свободно оперт, но поворот сечения невозможен. (рис. 10.12, в). При наличии скользящей заделки торец стержня имеет возможность осевого перемещения, нормальные напряжения на торце отсутствуют

Угол поворота сечения равен

Замечание. Краевые условия в сечении составляются точно таким же образом, как и при

Рис. 10.13. Кручение стержня при жесткой заделке корневого сечения: а — схема стержня; б, в, г — эпюры крутящих моментов чистого и стесненного кручения и нормальные напряжения

Рассмотрим кручение стержня при жесткой заделке одного из торцов (рис. 10.13, а). Геометрические характеристики сечения будем считать известными (их определение рассматривается ниже). В сечении имеется жесткая заделка, и по условиям (48) и (49) начальные параметры равны

Краевые условия при будут такими (условия (50) и (51)):

С помощью решения (46), используя строчки матрицы (47), находим из условий (55) и (56)

Уравнение (58) после очевидных сокращений дает

что можно было установить сразу в силу равенства (36),

Из соотношения (57) находим

Используя решение (46), находим момент касательных напряжений чистого кручения:

Внося значения получаем

Момент касательных напряжений стесненного кручения

или

Легко видеть, что условие

выполняется.

Нормальные напряжения стесненного кручения

или

Примерное распределение крутящих моментов и пормальных напряжений а по длине стержня показано на рис. 10.13, б — г.