Общие свойства расположения центра жесткости.

Равенства (97) и (98), определяющие положение центра жесткости, позволяют указать некоторые общие правила его нахождения.

1. Если сечение стержня имеет ось симметрии, то центр жесткости так же, как и центр тяжести, лежит на этой оси (рис. 10.22, а).

Напомним, что для таких сечений ось симметрии является одной из главных осей. Считая ось х совпадающей с осью симметрии, заметим, что равенство (97) будет удовлетворено, так как значения со в двух симметрично расположенных точках средней линии одинаковы по величине, но противоположны по знаку.

Предполагается, что модуль упругости Е постоянен или удовлетворяет, как и элементы площади, условиям симметрии.

2. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр жесткости так же, как и центр тяжести, лежит на пересечении указанных осей (рис. 10.22, б).

3. Если сечение имеет радиальную точку, то центр жесткости совпадает с ней (рис. 10.22, в). Радиальной точкой сечения назовем точку, по отношению к которой средние линии частей сечения имеют радиальное направление. Очевидно, все средние линии должны быть прямыми.

В связи с этим для любой точки средней линии главная секториальная площадь равна так как ее полюс находится в точке Сечения, обладающие радиальной точкой, не имеют депланации при кручении; в тонкостенных стержнях с такими сечениями (типа тавра, уголка) стесненное кручение не возникает. Отметим, что при условия (96) — (98) выполняются тождественно.

Рис. 10.23. Определение центра жесткости. сечения швбллерного типа

Примеры определения координат центра жесткости. 1. Рассмотрим сечение швеллерного типа (рис. 10.23) и выберем начало местной системы координат я, у в цептре тяжести стенки профиля. Центр тяжести всего сечепия отстоит от средней линии стенки

Начало отсчета секториальной площади примем в точке О. Вдоль линии В А радиус-вектор вращается по часовой стрелке и потому . В точке А секториальная площадь равна удвоенной площади треугольника 0 В А:

Момент инерции сечения равен

Положение центра жесткости (координату ) находим по формуле (108), Предварительно вычисляем

Значения у: для верхней полки , для нижней Далее находим

Расстояние между центром жесткости и центром тяжести равно

Этот результат был получен ранее (формула (86)) путем непосредственного определения момента касательных напряжений изгиба.

2. Определить центр жесткости сечения стержня в виде дуги окружности радиуса R. Площадь сечения (рис. 10.24). Центральный угол , толщина .

Рис. 10.24. Определение центра жесткости сечения стержня в виде дуги окружности

Выберем начало местной системы координат в центре окружности. Центр тяжести сечения отстоит на расстояние

Начало отсчета секториальной площади примем на оси у (точка 4). Секториальная площадь в точке А (удвоенная площадь сектора ) равна

Знак минус связан с поворотом радиуса-вектора по часовой стрелке. Главная секториальная площадь должна удовлетворять условию

что дает значение

При (сечение в виде кольца с разрезом)

При малых , считая

получаем

т. е. центр жесткости приближается к центру тяжести.