19. Модели пластичности

Стремление к наименьшим весу и габаритам изделий приводит к необходимости - увеличения напряжений в элементах конструкций и наиболее полному использованию прочностных возможностей материала. Во многих деталях машин, особенно в местах концентрации напряжений, в рабочих условиях возникают пластические деформации.

Оценка надежности подобных конструкций требует знания распределения напряжений и деформаций в упругопластической области. Модели пластичности необходимы для определения несущей способности элементов конструкций, т. е. величины внешних усилий, при которых происходит потеря работоспособности изделия. Изучение пластичности весьма важно для теории многих технологических процессов.

В настоящее время существует несколько моделей поведения материала при упругопластических деформациях. Наиболёе простая модель пластичности строится на основе деформационной теории Генки — Ильюшина.

Основные уравнения деформационной теории пластичности.

В основу деформационной теории пластичности положены следующие основные допущения.

1. Объемная деформация материала является упругой.

По уравнению (22) для упругих деформаций

где

— модуль упругости, коэффициент Пуассона и температурная деформация.

Опыты, проводимые при всестороннем давлении до 20 000 атм, подтверждают, что средняя деформация остается упругой.

Уравнение (33) справедливо для состояния всестороннего равномерного растяжения или сжатия. При таком напряженном состоянии касательные напряжения (в любой площадке) отсутствуют. При отсутствии касательных напряжений деформации упруги. Исследования деформаций показывают, что пластические деформации связаны с деформациями сдвига. Ответственными за появление пластических деформаций являются касательные напряжения.

Замечание. Средняя деформация пропорциональна объемной деформации . Более удобно для сопоставления с обычными деформациями рассматривать величины , что, конечно, не меняет физической сущности допущения.

2. Второе допущение деформационной теории пластичности сводится к утверждению, что тензор-девиатор деформаций пропорционален тензору-девиатору напряжений.

Ранее приводились тензоры деформаций и напряжений (см. разд. 6 и 10):

Напомним, что в тензор деформаций входят , так как исключается поворот элемента, вызванный деформацией сдвига (см. рис. 3.7).

Тензором-девиатором называется тензор, первый инвариант которого (сумма элементов главной диагонали) равен нулю.

Тензоры-девиаторы деформаций и напряжений будут такими:

где — средние деформации и напряжения.

Для суммы компонентов главной диагонали равны нулю (проверьте!):

Понятно, что для описания пластичности используются именно девиаторы напряжений и деформаций.

Девиаторы получаются из после «вычитания» деформаций и напряжений, соответствующих всестороннему растяжению или сжатию. На рис. 5.7 показан переход от основного напряженного состояния к соответствующему девиаторному состоянию.

Рис. 5.7. Переход от основного напряженного состояпия (а) к девиаторному (б, в). Нормальные напряжения даны в Касательные напряжения при переходе не изменяются

Касательные напряжения для обоих состояний остались неизменными, Термин «девиатор» происходит от слова «девиация» — отклонение. Девиатор напряжений характеризует отклонение данного напряженного состояния от состояния всестороннего растяжения или сжатия. Такие «отклонения» и вызывают деформации сдвига и связанные с ними пластические деформации.

Условие пропорциональности девиаторов деформаций и напряжений записывается в виде

где к — коэффициент пропорциональности, который удобно представить в следующем виде:

В равенстве — безразмерный коэффициент, называемый параметром пластичности. Если материал находится в упругом состоянии, то и уравнение (28) соответствует уравнениям (23).

Из тензорного равенства (38) вытекают девять скалярных равенств, из которых в силу симметрии тензоров , различными будут только шесть:

Уравнения (40) называются уравнениями Генки — Ильюшина. Они аналогичны закону Гука для упругого материала, если присоединить к ним условие (33).