Примеры точных решений. Стержень эллиптического сечения.

Рассмотрим кручение стержня эллиптического сечения (рис. 7.20), контур которого описывается уравнением

где — полуоси эллипса. Решим задачу с помощью функции напряжения. Так как функция обращается в нуль на контуре, то примем

Постоянную С определяем из уравнения (82).

Учитывая соотношения

получаем

откуда

По формулам (78) и (79) находим напряжения

В точках напряжения равны

Положительные направления для касательных напряжений показаны на рис. 7.20. В точке В величина касательных напряжений (по модулю) больше, чем в точке А при

Геометрическая жесткость стержня на кручение по формуле (91)

где — площадь и моменты инерции сечения стержня. Вычисления дают

Для случая

что совпадает с решением для круглого стержня. Взаимный угол поворота сечений вала на участке длиной I

Учитывая равенства (98), найдем расчетные зависимости для. определения напряжений:

(101)

Если (эллипс вытянут вдоль оси ), то наибольшее касательное напряжение будет в точках и В и равно

где момент сопротивления

Представляет интерес определить осевое перемещение (деплана-цию) при кручении. Как известно (уравнение (67)),

С помощью равенств (80) и (81) находим

Из последних равенств устанавливаем

Далее находим -

На рис. 7.21 показаны линии равных значений осевого перемещения. В первой и третьей четверти во второй и четвертой

Для круглого сечения ) осевое смещение .