Потенциальная энергия деформации, связанная с касательными напряжениями изгиба.

При изгибе стержней поперечной нагрузкой возникают касательные напряжения (разд. 31).

Для плоского изгиба (рис. 9.6) касательное напряжение

где — перерезывающая сила в сечении, — статический момент части сечения.

Потенциальная энергия деформации по формуле (17) будет равна

так как учитывается только касательное напряжение .

Далее найдем с помощью равенства (35)

где безразмерный коэффициент

учитывает неравномерное распределение по поперечному сечению касательных напряжений изгиба.

Потенциальная энергия деформации, связанная с касательными напряжениями изгиба, равна

Если касательное напряжение распределяется равномерно по сечению:

то из уравнений (37) и (38) .

Зависимость, подобная (39), существует и для изгиба в другой главной плоскости:

Для стержня с переменными параметрами упругости касательное напряжение изгиба

где .

Выражение для потенциальной энергии деформации можег быть принято в такой форме:

где

— жесткость сечения на сдвиг,

Для использования приведенных зависимостей необходимо знать величины . Их определение покажем на следующем примере.

Пример определения коэффициентов касательных напряжений.

Рассмотрим стержень прямоугольного сечения (рис. 9.7). Для такого сечения

Расчет проводим по формуле (38). Находим

Далее получаем

Замечание. Коэффициент определяется в результате осреднения энергии деформации сдвига. При учете влияния сдвига на прогибы стержня (разд. 34) принималось для прямоугольного сечения по максимальному зпачению касательных напряжений.

Величину выражающую «среднеквадратичное касательное напряжение», следует считать более точной.

В общем случае в сечении стержня действуют растягивающее усилие перерезывающие усилия изгибающие моменты

Потенциальная энергия деформации выражается следующим равенством:

Формула (45) объединяет ранее рассмотренные составляющие энергии деформации.

Рис. 9.7. Расчет коэффициента касательных напряжений

Возможность простого суммирования энергии растяжения и изгиба вытекает из того, что оси х и у являются главными осями сечения. Элемент длины вдоль оси стержня обозначен (см. формулу (29)), так что имеется возможность использования равенства (45) для стержней непрямой осью.

Для стержней с переменными параметрами упругости имеем

где — жесткости сечения на растяжение, изгиб и сдвиг; коэффициенты вычисляются по формулам типа (44).

Потенциальная энергия деформации стержней может быть представлена по-другому.

Из соотношений (14)—(16) гл. 8, пренебрегая температурными деформациями, получим

Деформации сдвига для точек оси стержня

В формулах для деформаций отмечается и общий случай, когда параметры упругости переменны по сечению и длине.

На основании равенства (45) и последних зависимостей получим

Равенство (48) имеет ясный физический смысл: потенциальная энергия деформации равна работе внутренних силовых факторов.

Рис. 9.8. Работа силовых факторов при деформации элемента стержня

На рис. 9.8 показана деформация элемента стержня при плоском изгибе.

Работа внутренних силовых факторов при деформации элемента стержня равна

Наконец, можно выразить потенциальную анергию деформации стержня через параметры деформации:

Замечание. В большинстве практических задач при вычислении потенциальной энергии деформации слагаемыми, связанными с учетом касательных напряжений изгиба, можно пренебречь.

Рис. 9.9. Понятие вариации функции