Устойчивость стержней при упругопластических деформациях. Модуль Кармана.

Рассмотрим случай, когда и деформация стержня происходит в пластической области.

После предварительного сжатия напряжениями начинается изгиб стержня на стороне растяжения (рис. 12.41) возникает разгрузка, а на стороне сжатия продолжается нагружение. Состояние материала стержня после предварительного сжатия характеризуется точкой (рис. 12.42). При изгибе получается приращение напряжений, причем в силу закона разгрузки (разд. 19)

где Е и — модуль упругости и касательный модуль.

Рис. 12.41. Точки разгрузки и нагрузки при боковом прогибе стержня после предварительного сжатия

При нагружении изгибом предварительно сжатого (или растянутого) в пластической области стержня материал стержня ведет себя как разномодульный. Уравнение изгиба стержня (см. рис. 12.41) имеет вид

где — жесткость стержня на изгиб.

Для диаграммы деформирования с линейным упрочнением имеем

где — модуль Кармана.

Для прямоугольного сечения стержня

Для двутаврового сечения, если пренебречь моментом инерции стенки,

Существенно отметить, что всегда

Из уравнения (223) точно так же, как и для упругого стержня, получаем

что меньше критического значения по формуле Эйлера.

Рис. 12.42. Зависимость напряжение — деформация при анализе устойчивости сжатого стержня

Появление пластических деформаций снижает устойчивость конструкций, делает их более податливыми.

Рис. 12.43. Изгиб в условиях продолжающегося нагружения осевыми силами (распределение напряжений в разные моменты нагружения)