ГЛАВА 11. КОЛЬЦА

40. Изгиб колец

Вводные замечания.

В технике часто используются кольца как силовые элементы конструкций (рис. 11.1). Они служат для подкрепления оболочек (силовые кольца, шпангоуты), особенно при передаче сосредоточенных усилий, и нередко представляют самостоятельные конструктивные элементы.

Рассмотрим замкнутые круговые кольца, у которых одна из главных осей поперечного сечения лежит в плоскости кольца. Будем считать, что нагрузки совпадают с главной осью и действуют в плоскости кольца и что размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом кольца.

Основные уравнения.

Задача о замкнутом кольце под действием произвольной нагрузки (в плоскости кольца) является статически неопределимой задачей.

Разрезав кольцо в произвольном месте (рис. 11.2), получим статически определимую систему, в которой действуют три неизвестных силовых фактора: нормальное усилие перерезывающее усилие и изгибающий момент .

Замкнутое кольцо является. три раза статически неопределимой системой.

При определении перемещений будем использовать интеграл Мора

где — изгибающий момент, перерезывающая и нормальная силы внешних нагрузок; — то же от единичных силовых факторов; — жесткости на изгиб, растяжение и сдвиг; К — коэффициент, зависящий от формы сечения.

Анализ показывает, что влиянием перерезывающих и нормальных сил для колец в большинстве случаев можно пренебречь.

В качестве основной системы принимаем кольцо, «разрезанное» в сечении А (рис. 11.2).

Рис. 11.1. Кольца как элементы конструкции

Рис. 11.2. Основная система при расчете колец

Составим канонические уравнения метода сил, считая относительные смещения точек равными нулю:

Уравнение (2) выражает отсутствие относительного смещения разреза (в основной системе) в направлении силы уравнение (3) обращает в нуль взаимное смещение разреза в направлении силы наконец, уравнение (4) свидетельствует об отсутствии взаимного поворота разреза.

Для определения коэффициентов канонических уравнений (2) — (4) построим эпюры изгибающих моментов (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Эпюры изгибающих моментов от единичных силовых факторов

Используя свойства произведения симметричных и кососимметричных эпюр, находим

Из уравнения (3) находим

Уравнения (2) и (4) принимают вид

и приводят к следующим значениям неизвестных силовых факторов:

Перейдем к вычислению коэффициентов влияния. Изгибающий момент в сечении под углом в эпюре (рис. 11.3, а)

Изгибающие моменты будем считать положительными, если уменьшают кривизну стержня (положительное направление ) показано на рис. 11.2).

Изгибающие моменты в эпюрах 2 и 3 от единичных силовых факторов (рис. 11.3, а, б) равны

Далее вычисляем

Перемещения от внешних нагрузок составляют

где — изгибающий момент в сечении под углом в разрезанном кольце от внешних нагрузок.

Подставляя вычисленные значения в формулы (6), найдем после несложных преобразований

(9)

Изгибающий момент в сечении в замкнутом кольце

Учитывая равенства (7) — (9), получим основную формулу

Изгибающий момент в сечении замкнутого кольца равен изгибающему моменту в разрезанном кольце за вычетом трех первых членов разложения этого момента в ряд Фурье.. При вычислении интегралов можно пользоваться приближенными численными методами.

В равенстве (11) угол отсчитывается от сечения разреза, которое можно выбрать произвольным. Если внешние нагрузки имеют ось симметрии или ось асимметрии, то разрез целесообразно проводить по этим осям.

Для нагрузки, симметричной относительно линии разреза,

Для нагрузки, кососимметричной относительно линии разреза,

Замечание. При раскрытии статической неопределимостицкольца учитывались только изгибающие моменты. В некоторых случаях, например при действии на кольцо большого числа одинаковых радиальных сил, существенное значение приобретают нормальные усилия, и их следует учесть в равенстве (1). Это понятно, потому что при равномерном давлении на кольцо изгибающие моменты в нем отсутствуют и вся деформация происходит за счет усилий N.

Пример 1. Определить изгибающие моменты в кольце под действием сосредоточенных сил (рис. 11.4, а). Проведем разрез по оси симметрии и распределим нагрузку поровну по краям разреза (рис. 11.4, б).

Изгибающий момент в сечении под углом

Применяя формулу (12), находим

и окончательно

При

Распределение изгибающих моментов показано на рис. 11.4, в.

Рис. 11.4. Кольцо под действием сосредоточенных сил

Пример 2. Определить изгибающие моменты в кольце, загруженном двумя сосредоточенными моментами М (рис. 11.5, а). Проведем разрез по оси симметрии (рис. 11.5, б).

Рис. 11.5. Кольцо под действием сосредоточенных моментов

Изгибающий момент в основной системе в сечении под углом

Определяем

Далее по формуле (12) находим

При

При

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 11.5, в.