ГЛАВА 14. ЦИЛИНДРЫ И ДИСКИ

Многие ответственные элементы машин и сооружений могут рассматриваться как полые цилиндры, работающие при действии внутреннего или внешнего давления (толстостенные трубы, цилиндрические сосуды высокого давления, валы и втулки при наличии прессовых посадок и т. д.). Часто применяются высоконагруженные, быстровращающиеся диски (турбины, осевые компрессоры), шлифовальные круги и т. д.

47. Прочностные модели толстостенных труб и цилиндров. Напряжения и деформации

Рассмотрим круговой цилиндр при осесимметричном, постоянном по длине нагружении. На рис. 14.1 представлен участок толстостенной трубы под внутренним давлением. Внешний радиус цилиндра обозначим b, внутренний а.

Рис. 14.1. Круговой цилиндр при осесимметричном, постоянном по длине нагружении

Рис. 14.2. Напряжения по граням элемента цилиндра

Предположим, что по длине цилиндра (по оси z) нагрузка N и температурное поле не изменяются. Длина цилиндра I существенно больше его радиуса, и при указанных условиях поперечные сечения цилиндра остаются плоскими. Искажения, которые могут возникнуть только возле торцов, занимают по принципу Сен-Венана небольшие области, и ими в рассматриваемой модели пренебрегаем.

Выделим элемент цилиндра двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние dz, двумя цилиндрическими поверхностями радиусами и и, наконец, двумя меридиональными плоскостями, составляющими угол (рис. 14.2, а).

По граням этого элемента будут действовать: радиальное окружное и осевое напряжения (рис. ). В силу осевой симметрии и постоянства нагружения по указанные напряжения будут главными: по граням элемента (рис. 14.2, б) касательные напряжения отсутствуют. Точка А цилиндра (рис. 14.3) получает радиальное смещение .

Для определения деформации в радиальном направлении в соответствии с общей теорией деформации (разд. 9) рассматриваем две точки , отстоящие на расстояние . Так как перемещение и зависит от радиуса, то радиальное перемещение в точке В будет равно и . Деформация в радиальном направлении равна

Для определения деформации в окружном направлении надо проследить за изменением длины отрезка АС, Тогда

Формулы (1) и (2) выражают деформации в полярной системе координат при осесимметричном нагружении.

Рис. 14.3. Перемещение и деформации в цилиндре при осесимметричном нагружении

Выражение для осевой деформации имеет такой же вид, как и в декартовой системе координат (разд. 9):

где w — перемещение в направлении оси z. При плоской деформации величина постоянна:

(3)