ГЛАВА 17. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Современные ЭВМ дают возможность широкого использования численных методов определения напряжений и деформаций в элементах конструкций сложной формы. Среди таких методов наибольшее практическое значение имеет метод конечных элементов, разработанный и усовершенствованный в последние годы.
54. Введение в метод конечных элементов
Связь вариационных методов и метода конечных элементов
В вариационных методах упругие смещения, возникающие в теле под нагрузкой, представлялись в виде
где 
— заранее выбранные функции; 
— неизвестные коэффициенты, определяемые из условия минимума полпой потенциальной энергии системы.
Основные трудности при использовании вариационных методов состоят в выборе аппроксимирующих функций 
Разумеется, что с помощью увеличения числа таких функций точность решения может быть повышена, однако учет местных, особенностей напряженного состояния (концентрации напряжений) остается весьма трудным.
В методе конечных элементов тело разбивается на малые но конечные элементы. Аппроксимация функций 
проводится в каждом элементе отдельно. В качестве основных неизвестных принимаются смещения в узловых точках, сопрягающих отдельные конечные элементы (рис. 17.1).
Рис. 17.1. Разбиение области на конечные элементы
Аппроксимация смещения внутри малой области позволяет использовать простейшие функции (линейные и квадратичные функции координат).
Как и в вариационных методах, для получения разрешающей системы уравнений относительно неизвестных смещений узлов используется начало возможных перемещений:
где 
— векторы объемной и поверхностной нагрузки; 
— вариации (малые отклонения)векторов деформаций 
смещений; верхний индекс 
означает транспонирование.
Основные этапы решения в методе конечных элементов.
1. Разбиение конструкций на элементы.
2. Выражение перемещений и деформаций в элементе через смещения граничных точек (узлов) элемента.
3. Составление разрешающих уравнений с помощью начала возможных перемещений.
4. Определение узловых смещений, деформаций и напряжений. В качестве конечных элементов могут использоваться не обязательно малые элементы. Важно только, чтобы поведение элемента (части конструкции) достаточно точно описывалось смещениями его узлов. Например, в качестве конечного элемента можно использовать стержень и т. п.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Статически неопределимая ферма (рис. 17.2). Считаем конечными элементами стержни; узлами элементов являются шарниры. Отличным от нуля будет узловое смещение 
.
Рис. 17.2. Расчет статически неопределимой фермы методом конечных элементов
Деформация в элементе 2 равна
Деформация в элементах 1 и 3 равна
Напряжения в элементах
Начало возможных перемещений (2) запишем для системы в следующем виде:
В этом равенстве интеграл по объему тела рассматривается как сумма интегралов по объему каждого элемента. Так как
то
где F — площадь сечения стержней. По физическому смыслу
представляет возможную работу внешних сил при вариации смещения узла 1 В соответствии с равенством (3)
где 
. Так как 
, то получаем
Усилия в стержнях будут равны
По физическому смыслу 
представляет усилие, которое следует приложить в узле 1 для единичного смещения узла 
Величина 
называется коэффициентом жесткости.
Рис. 17.3. Расчет статически неопределимой фермы под действием произвольной силы методом конечных элементов
Пример 2. Статически неопределимая ферма под действием произвольной нагрузки (рис. 17.3). Смещение узла 1 имеет составляющие 
. Для определения деформаций в стержнях находим проекцадо полного смещения узла 1 на направления стержней а относим эту величину к его длине I:
Напряжения в стержне
Используя начало возможных перемещений (уравнение (3)), получим
где
Собирая члены при одинаковых вариациях, найдем
где матрица жесткости
В силу произвольности вариаций из уравнения (8) получаем
Зависимости (10) позволяют определить смещение и затем деформации и напряжения в стержнях.
