Модели вязкоупругости.

В классической механике со времен Ньютона используется модель вязкой жесткости, в которой касательные напряжения пропорциональны скорости деформации сдвига

где — коэффициент вязкости.

Если рассмотреть сплошную среду, обладающую свойствами вязкой жидкости и упругости, то получим модели вязкоупругости, которые были предложены Максвеллом, Фойгтом и Кельвином в связи с изучением свойств густых растворов, суспензий и упругих тел. В дальнейшем оказалось, что модели вязкоупругости пригодны для описания полимерных материалов, имеющих широкое распространение в современной технике.

Рис. 5.21. Модель Максвелла

Модель Максвелла представляет последовательное соединение элемента упругости и элемента вязкости (последний иллюстрируется в виде движения - поршня с зазором внутри цилиндра с вязкой жидкостью (рис. 5.21)). Относительное перемещение точек А и В

где упругая часть перемещения пропорциональна действующему усилию:

Для вязкого элемента усилие Q пропорционально скорости движения поршня относительно цилиндра:

Дифференцируя равенство (127) по времени и учитывая соотношения (128) и (129), находим

Для элемента тела при одноосном напряженном состояний аналогично последнему уравнению получаем

где — напряжение и деформация растяжения; Е — модуль упругости; - постоянная вязкости, определяемая из экспериментальных данных.

Величины зависят от температуры Т.

Модель Максвелла совпадает с основной моделью тела при упругих деформациях и деформациях ползучести, для которого скорость ползучести линейно зависит от напряжения (см. рис. 5.16).

Модель Максвелла с нелинейной вязкостью

может быть использована для приближенного описания деформации не только полимерных материалов, но и металлов.

Модель Фойгта (рис. 5.22) содержит параллельное оеединение элементов упругости и вязкости, для которого общее усилие

где — относительное перемещение точек А и В. Для элемента тела при одноосном напряженном состоянии, подобно равенству (133), получаем

Модель Фойгта не дает правильной картины поведения конструкционных материалов под нагрузкой, но она может быть использована для описания микропроцессов в материале, в частности внутреннего трения при переменных напряжениях.

Рис. 5.22. Модель Фойгта

Рис. 5.23. Модель Кельвина

Модель Кельвина (рис. 5.23) представляет обобщение моделей Максвелла и Фойгта.

Для модели Кельвина относительное перемещение точек А и В

где — перемещение звена АС.

Дифференцируя соотношение (135), находим

С помощью равенства (133) для модели Фойгта находим

Из соотношений (136) и (137) вытекает равенство

В последнем равенстве коэффициенты податливости упругих элементов. Переходя на основании модели Кельвина к элементу тела при одноосном растяжении, будем иметь

Если то уравнение (139) совпадает с уравнением (131) для модели Максвелла; при получается соотношение (134) для модели Фойгта.