Уравнения изгиба для балки постоянного сечения на упругом основании. Структура решения.

В случае, когда и коэффициент упругого основания постоянен уравнение изгиба (4) становится таким:

Решение уравнения (8) можно получить общими методами решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и оно имеет следующую структуру:

где - частные, линейно независимые решения однородного уравнения (8) при — частное решение неоднородного уравнения; — произвольные постоянные. Однородное уравнение удобно записать в следующем виде:

где

Частное решение предполагается в виде

Подставляя его в уравнение (10), найдем

Используя формулу Муавра для корней из комплексных чисел, найдем четыре корня уравнения (13):

Решение будет таким:

Учитывая формулы Эйлера для тригонометрических и гиперболических функций

можно представить решения (15) в различных формах, приспособленных для конкретных условий.

Длинные балки.

Запишем решение (15) в следующем виде:

Если балка является длинной (например, рельсовый путь), то величина может быть очень большой, и по условиям ограниченности прогиба следует положить

Решение для длинных балок будет таким:

(18)

Непосредственным дифференцированием получаем полезные для дальнейшего формулы:

Рассмотрим действие сосредоточенного усилия на бесконечно длинную балку (рис. 15.6). Поместим начало координат в сечении, где приложена сила.

Рис. 15.6. Действие сосредоточенной силы на длинную балку на упругом основании

Краевые условия при z = 0 будут такими:

Так как перерезывающая сила в сечении равна

внешняя распределенная нагрузка отсутствует, и потому . Из соотношений (18) — (21) находим

или

Теперь из соотношений (18) и (19) находим значение прогиба и изгибающего момента:

Из решения видно, что наибольшие значения прогиба и изгибающего момента получаются в сечении где приложено усилие.

По мере удаления от сечения прогибы затухают, так как они содержат множитель (рассматривается половина балки при во второй половине распределение симметрично).

На расстоянии I можно практически пренебречь прогибами и моментами,

при этом . Условие (23) позволяет отнести рассматриваемую балку, к числу длинных балок. Дальнейшее увеличение длины практически не оказывает влияния на максимальный прогиб и изгибающий момент.

Короткие балки на упругом основании. Функции Крылова.

Значительно более сложным оказывается решение для коротких балок, когда требуется учесть условия на обоих концах балки (рис. 15.7). Для решения удобно воспользоваться нормальными фундаментальными функциями (функциями Крылова) уравнения (8). Эти функции являются решениями однородного уравнения (8), удовлетворяющими специальному условию в начале координат . Например, функция должна при удовлетворять следующим условиям:

Рис. 15.7. Короткие балки на упругом основании

В порядке упражнения напишите аналогичные условия для остальных функций!

Как известно (разд. 34), функции Крылова могут быть образованы из частных решений однородного уравнения (8) путем надлежащего выбора произвольных постоянных:

надо найти постоянные из систем линейных уравнений

где определяются равенствами (14). Не останавливаясь на алгебраической стороне вопроса, приведем окончательные результаты (функции Крылова):

(25)

Решепие дифференциального уравнения балки на упругом основании с помощью функций Крылова имеет следующий вид:

где частное решение (см. разд. 34)

Как уже указывалось, одно из главных преимуществ применения нормальных фундаментальных функций состоит в том, что произвольные постоянные приобретают конкретный физический смысл.