39. Полупространственные модели стержня
Вводные замечания.
В обычной теории стержней нормальные напряжения направлены вдоль оси стержня; нормальные напряжения, действующие «в плоскости сечения», т. е. перпендикулярно оси стержня, считаются отсутствующими (гипотеза о ненадавливании волокон стержня).
В некоторых случаях, например при неравномерном нагреве стержней с массивным поперечным сечением, пренебрегать указанными напряжениями нельзя.
Основные уравнения. Нормальные напряжения в поперечном сечении.
Рассмотрим сначала стержень постоянного сечения, загруженный по торцам моментами и осевым усилием (рис. 10.26).
Рис. 10.26. Стержень с постоянными напряжениями по длине
Температурное поле по длине стержня не изменяется. В этих условиях можно считать напряжения и, следовательно, деформации постоянными по длине стержня.
Из уравнений совместности деформаций (см. разд. 11) после приравнивания нулю производных по z находим
При постоянных по длине стержня напряжениях и деформациях осевая деформация 
распределяется по поперечному сечению по линейному закону относительно координат х и у:
Соотношение (112) удовлетворяет условиям (111). В соответствии с принципом независимости действия сил кручение стержня можно рассматривать в пределах упругих деформаций отдельно, и в дальнейшем будем считать 
При действии изгибающих моментов и осевой силы линейное распределение 
эквивалентно гипотезе плоских сечений.
В соответствии с гипотезой плоских сечений (см. разд. 29)
где параметры деформации 
в рассматриваемом случае — постоянные величины.
На основании обобщенного закона Гука имеем
Используя соотношение (113), находим
Условия равновесия отсеченной части стержня
Приводят к системе трех уравнений относительно параметров деформации 
.
Для главных осей сечения х, у, удовлетворяющих условиям
указанные уравнения существенно упрощаются.
После нахождения параметров деформации из равенства (115) получаем
где изгибные напряжения 
и температурные напряжения отем определяются прежними формулами (разд. 29), а дополнительные напряжения
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня зависят от напряжений 
действующих «в плоскости поперечного сечения».
