Перемещения на изгибе криволинейного стержня.

Для нахождения перемещений составим сначала выражение потенциальной энергии деформации равномерно нагретого криволинейного стержня. В результате деформации сечение стержня получает поступательное смещение и угол поворота (рис. 15.17).

Работа, совершаемая при деформации элемента стержня, равна

где параметры деформации имеют вид

В равенстве (67) пренебрегается работой перерезывающих сил.

Потенциальная энергия деформации всего стержня

Интегрирование ведется вдоль оси приведенных центров тяжести.

Рис. 15.17. Определение потенциальной энергии элемента стержня

Рис. 15.18. Определение перемещений в криволинейном стержне

Если к стержню (рис. 15.18) приложена сила Р, то перемещение точки приложения силы по направлению ее действия по теореме Кастилиано составит

Этот же результат можно получить с помощью интеграла Мора

где — единичный изгибающий момент и осевая сила. Формула (104), как и в случае прямолинейного стержня, справедлива для определения прогиба в точке приложения единичной силы вдоль линии ее действия.

Рис. 15.19. Изменение радиуса кривизны при деформации криволинейного стержня

Замечания. 1. Обычно при нахождении энергии деформации криволинейного стержня большой кривизны интегрирование ведется вдоль оси центров тяжести и внешние нагрузки приводятся к обычным главным осям сечения. Тогда появляется необходимость учитывать работу момента от перемещений, вызванных усилием. При интегрировании вдоль оси приведенных центров тяжести формулы для криволинейного и прямолинейного брусьев совпадают.

2. Параметр изгибной деформации связан с изменением радиуса кривизны оси приведенных центров тяжести сечений. Если — первоначальный радиус кривизны (рис. 15.19):

(105)

то после деформации его величина будет и угол между гранями элемента становится равным . Пренебрегая удлинением оси при рассмотрении изгибной деформации, получим

Из последнего соотношения находим

Параметр выражает изменение кривизны стержня.